DS1 2021 2022
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IIDate: Jeudi 24 Janvier 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée: 1h30Nombre de pages: 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 5 points1. Soit G, un groupe. Montrer que H est un sous-groupe de G, si et seulement si, H est non videet pour tout x, y éléments de H,x1 y H.2.5 points2. On note U l’ensemble de C suivant :U = z C;z = 1Montrer que U,. est un sous-groupe de C,..2.5 pointsSolution1. Soit H une partie de G. Supposons que H est un sous-groupe de G,. Alors H est un groupe. Soitx; y H2 alors x1 H,car H est un groupe et donc x y1 H car H est stable. De plus e H.Réciproquement, supposons que pour tout x; y H2, x y1 H et H non vide. AlorsSoit x H, alors xx1 H donc e H et ex1 = x1 H. On en déduit que xy = xy11 H donc H eststable.On a donc un ensemble non vide, stable par l’opération, qui contient l’élément neutre, les inversibleset la loi est associative donc H, est un groupe donc un sous-groupe.2. Soit x, y U, alors l’inverse de y est 1yOn vérifie si xy1 appartient à U:¯¯xy1¯¯ =¯¯¯¯xy¯¯¯¯ = xy = 11 = 1donc xy1 U donc U est un sous-groupe de CAutre méthode: 1 appartient U car 1=1.1
Page 2 : U est stable car pour x, y U,xy = xy = 1×1 = 1De plus l’inverse de y, 1y est tel que¯¯¯¯1y¯¯¯¯ = 1y = 1 donc y1 U.Donc U est un sous-groupe de C,×Autre méthode: module: C →Rx 7→z est un morphisme de groupe et U est le noyau de ce morphisme.Exercice 2 2 pointsSoit G, un groupe et soit a G, tel qu’il existe un entier n, tel que an+1 = a a a ···a = e, avec el’élément neutre de G,. On note A l’ensembleA =©e,a,a2,...,anªMontrer que A, est un groupe commutatif.SolutionSoit c,d G2, soit m,p 0,n2 tels que c = am et d = apalors d1 = an+1p en effet dan+1p = apan+1p = an+1 = e = an+1pdOn a donc cd1 = aman+1p = am+n+1pOr 0 É m É n et 0 É p É n donc 0 É n p É n donc 0 É m +n p É 2nSoit k = m +n p É n et cd1 = ak avec k 0,nSoit m +n p n et alors k =m +n pn = m p 0,nDans les deux cas cd1 AEnfin A est commutatif car amap = am+p = ap+m = apamExercice 3 6 pointsOn note G l’ensemble de R1X suivantG = aX +b R1X ;a ̸= 0Pour tous P = aX +b et Q = cX +d, éléments de G, on noteP Q = acX +ad +b1. Montrer que est une LCI sur G.1 points2. Montrer que G, est un groupe.2.5 points3. G, est-il commutatif?1 points4. L’objectif de cette question est de construire un sous-groupe commutatif de G,. On fixe k R et ondéfinitAk = aX +ka 1 G.Montrer que Ak est un sous-groupe commutatif de G,.1 points2
Page 3 : Solution1. P G est évidemment un opération interne de R1X .La loi est interne sur G car si a ̸= 0 et c ̸= 0, alors ac ̸= 0 donc aX +bcX +d G2. Associativité...aX +bcX +deX + f = aX +bceX +c f +d = aceX + ac f +d+b= aceX + ac f + ad +baX +bcX +deX + f = acX + ad +beX + f = aceX + ac f + ad +b= aceX + ac f + ad +bDonc la loi est associative.Neutre aX +bcX +d = aX +b ⇔acX + ad +b = aX +b ⇔c = 1 et d = 0Le neutre semble être X . A droite c’est le cas par l’équivalence précédente.On vérifie à gauche: X cX +d = cX +1d +0 = cX +dDonc X est le neutre.Recherche du symétrique:aX +bcX +d = X ⇔ac = 1 et ad +b = 0 ⇔c = 1a et d = baOn vérifie queµ 1a X ba¶aX +b = 1a aX + 1a b ba = Xdonc 1a X ba est le symétrique de aX +bG est donc un groupe.3. On a 2X +1X +2 = 2X +5 et X +22X +1 = 2X +3donc le groupe n’est pas commutatif.4. Soit x = aX +ka 1 et y = bX +kb 1x y1 = aX +ka 1µ 1b X kb 1b¶= ab X akb 1b+ka 1= ab X + akb 1+kba 1b= ab X + akb + ak +kba kbb= ab X + ka bb= ab X +k³ab 1AkDonc Ak est un sous-groupe de HExercice 4 7 points3
Page 4 : 1. Déterminer, selon la valeur du paramètre m R et en utilisant le pivot de Gauss, l’ensemble des solu-tions du système :x+y+mz=13x+yz=1x2y+2z=m2. En déduire de la résolution précédente le rang de la matrice:11m311122SolutionNotons S le système.On procède par pivot de gauss sur x, puis y.AlorsS ⇐⇒x+y+mz=12y+z1+3m=2L2 ←L2 3L13y+2mz=m 1L3 ←L3 L1⇐⇒x+y+mz=12y+z1+3m=2z31+3m+22m=6+2m 1L2 ←3L2 +2L3⇐⇒x+y+mz=12y+z1+3m=2z3+9m +42m=2m +2L2 ←3L2 +2L3⇐⇒x+y+mz=12y+z1+3m=27zm +1=2m +2L2 ←3L2 +2L3On peut alors discuter suivant les valeurs de m :• Si m +1 ̸= 0, c’est-à-dire si m ̸= 1, le système n’admet pas de solutions car équivalent à 0 = 4 3èmeéquation• Sinon, on a z = 2m +27m +1 puis y = 1x mz = 53m27m +1L’ensemble des solutions est alors½µm +72, 53m27m +1, 2m +27m +1¶¾.Autre méthode:On procède par pivot de gauss sur y, puis z.AlorsS ⇐⇒x+y+mz=12xm +1z=0L2 ←L2 L13x+2m +1z=m +2L3 ←L3 +2L14
Page 5 : ⇐⇒y+mz+x=1m +1z+2x=07x=m +2L3 ←2L2 +L3⇐⇒y+mz+x=1m +1z=2m +27x=m +27On peut alors discuter suivant les valeurs de m :• Si m +1 ̸= 0, c’est-à-dire si m ̸= 1, le système n’admet pas de solutions car équivalent à 0 = 17 2èmeéquation• Sinon, on a x = m +27et z = 2m +27m +1 puis y = 2m +21+3m14m +1+1 = 6m2 +1014m +1 = 53m27m +1et x = 1m 2m +27m +1 + 3m2 57m +1 = m +72L’ensemble des solutions est alors½µm +72, 53m27m +1, 2m +27m +1¶¾.5
Page 6 : Exercice 5 3.5 pointsPour tout a R on définit le systèmeax+1ay+1az=a2ax+1+ ay+1+ az=a a2x+y+2z=1a1. Déterminer en fonction de a les solutions du système.3 points2. Pour quelles valeurs de a le sytème est-il de Cramer?0.5 pointsSolutionNotons S ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss en choisissant la troisième lignecomme pivot:S⇐⇒x+y+2z=1aL3y+1az=0L2 aL312ay+13az=2a2 aL1 aL3⇐⇒x+y+2z=1ay+1az=013a12a1az=2a2 aL3 12aL2⇐⇒x+y+2z=1ay+1az=02a2z=2a2 aOn distingue alors plusieurs cas.Si a ̸= 0, on obtient ⇐⇒x=32 12ay=32 12a az=1+ 12adonc S =½µ32 12a ; 32 12a a;1+ 12a¶¾Donc le système est de Cramer.Si a = 0, le système est équivalent འx + y +2z = 1y + z = 0et donc l’ensemble des solutions est©¡1+ y, y,y¢; y Rª.6
Page 7 : Remarque:On peut également simplifier le système en effectuant la somme et la différence des deux premièreslignes:ax+1ay+1az=a2ax+1+ ay+1+ az=a a2x+y+2z=1a2ax+2y+2z=aL1 →L1 +L2x+y+2z=1a2ay+2az=a 2a2L2 →L2 L1Donc le système est de Cramer.Si a = 0, le système est équivalent འx + y +2z = 1y + z = 0et donc l’ensemble des solutions est©¡1+ y, y,y¢; y Rª.Sinon,ax+y+z=a2L1 →L1/2y+z=12 aL2 →L2 L1x+y+2z=1ay+z=12 aL1 →L3x+z=12L2 →L3 L2ax=3a 12L3 →L1 L2x=32 12az=1+ 12ay=32 12a a7
