DS1 2021 2022
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Page 1 : Preing 2Devoir Surveille 1Matiere : Analyse dans RnDate : Jeudi 18 Novembre 2021L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1. 1+3 = 4 points - Question de cours.1. Donner la definition d’un espace separe.2. Montrer que tout espace vectoriel norme est un espace separe.Exercice 2. 3+3 = 6 points - On considere les ensembles suivants :•A =nx, y R2/x = 0, 1 y 2o.•B =nx, y R2/x 1 1, y 1 1on0, 2; 0, 5o.•C = 5, 10, 5 6.1. Les ensembles A, B et C sont-ils fermes, ouverts, ni fermes ni ouverts ? Justifier votre reponse.2. Pour chaque ensemble A, B et C determiner l’interieur, l’adherence. Justifier votre reponse.Exercice 3. 1,5+4+0,5 = 6 points - On note E l’espace vectoriel de toutes les suites reellesbornees. On definit les applications N1, N2 parx = xnn E,N1x = supnNxnetN2x = supnN2n + 12n + 2· xn1. Montrer que pour tout n N, an = 2n + 12n + 2 est bornee, et trouver ses bornes supnNan etinfnNan. Est-ce que pour tout x E, N2x existe ?2. Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur E.3. Montrer qu’il existe α, β 0 tels que : αN1 N2 βN1.1
Page 2 : Exercice 4. 1+1+2+2 = 6 points - Soit E un espace vectoriel et l’application .: E →R quiverifie les trois proprietes suivantes :•x= 0 =⇒x = 0•λ R, x E, λ · x= λ · x•x, y E, x + ymaxx, y1. Montrer que x E, on a x0.2. Montrer que E, . est un espace vectoriel norme.3. Soit r 0, a E. Montrer quehx Ba, ri=⇒hBa, r = Bx, ri.4. Soit r, δ R+2 et x, y E2. Montrer quehBx, r By, δ ̸= i=⇒hBx, r By, δouBy, δ Bx, ri.Indication : Pour la question 4, on pourra utiliser la question 3.2
