DS1 2021 2022
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Analyse IIDate: Jeudi 10 Mars 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée: 1h30Nombre de pages: 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 6 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 2 pointsDéterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l’ensemble proposé.1. Sur R, f1 : x 7→cos24x.2. Sur R+, f2 : x 7→pp2x +5.3. Sur R, f3 : x 7→lnx +px2 +1.Solution1 f′1x = 8cos4x sin4x2 f′2x =12pp2x +512p2x2 =1pp2x +512p2x3 f′3x =1+2x2px2 +1x +px2 +1=px2 +1+ x³x +px2 +1px2 +1=1px2 +1Exercice 2 3 pointsSoit la fonction g : x 7→x3ex.Déterminer, n N,x R, l’expression de la dérivée g nx dérivée n-ième de g.SolutionOn utilise la formule de Leibniz:g nx =nXk=0µnk¶¡x3¢k ¡ex¢nk=µn0¶¡x3¢¡ex¢n +µn1¶¡x3¢1 ¡ex¢n1 +µn2¶¡x3¢2 ¡ex¢n2 +µn3¶¡x3¢3 ¡ex¢n3= x3ex1n +n3x2ex1n1 + nn 126xex1n2 + nn 1n 266ex1n3= ex1n ¡x3 3nx2 +3xnn 1nn 1n 2¢1
Page 2 : Exercice 3 3 points1. Déterminer la limite en 1 de ln1+sinx 1x 1.2. Déterminer la limite en 0 deµ1x2 +1 cosx¶ 1x2Solution1 limx→1ln1+sinx 1x 1= limx→1cosx 11+sinx 1 = 1 en appliquant la règle de l’Hospital.2On applique deux fois la règle de l’Hospital.limx→0µ1x2 +1 cosx¶ 1x2 = limx→0Ã2x¡x2 +1¢2 +sinx!12x= limx→0Ã1¡x2 +1¢2 + sinx2x!= 1+ 12 = 12Exercice 4 6 pointsSoit la fonction f définie par f x =11+ex1. Démontrer que f est définie et dérivable sur R2. Démontrer que f ′ = f 1f en déduire f " = f 1f 12f 3. Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse x = 0 de la courbe représentative de f .4. Démontrer que f est strictement croissante sur R.5.a Démontrer que f est bijective de R dans un ensemble que l’on précisera.b En utilisant un théorème du cours, démontrer que f 1 est dérivable et déterminer sa dérivée.c Déterminer une expression de f 1x.d bonus Déduire de la question précédente un nouveau calcul de la dérivée et comparer avec lerésultat de la question bSolution1 Le dénominateur de ce quotient ne s’annule pas et c’est une fonction continue et dérivable sur R.Donc f est continue et dérivable sur R.2 f ′x =ex1+ex2 or 1f x = 1+ex1+ex 11+ex =ex1+exDonc f ′ = f 1f On dérive cette expression: f′′ = f ′1f f f ′ = f ′12f = f 1f 12f 3 y = f ′0x 0+ f 0 ⇔y = f 01f 0x + f 0 ⇔y = 14x + 122
Page 3 : 4 f ′x =ex1+ex2 0 donc f est strictement croissante.5 a f est continue sur R et strictement croissante donc elle est bijective sur f R.or limx→f x = 0 car limx→ex = 0 et f x =11+ 1exet limx→+f x = 1 car limx→+ex = +Donc f R =0;1b On a vu que f ′x ̸= 0 donc f 1 est dérivable etf ′1x =1f ′f 1x =1f f 1x1f f 1x =1x1xc On résouty = f x ⇔y =11+ex ⇔1+ex = 1y ⇔ex = 1yy⇔x = lnµ1yy¶⇔x = lny1yf 1x = lnx1xd Si on dérive en y, on obtient 1y +11y =1y1yExercice 5 6 pointsSoit la fonction f définie parf :R →Rx 7→ax2 +bx +csi x É 0e1xsi x 01. Déterminer la limite de f en +.2. Déterminer les conditions pour a,b et c pour que f soit continue sur R.3. Etudier la dérivabilité de f en 0 à droite en utilisant le taux de variation.4. Etudier la dérivabilité de f sur R+et calculer f ′x.5. En déduire les conditions sur a, b et c pour que f soit dérivable sur R.6. Dans les conditions de la question précédente, la fonction f est-elle de classe C 1, de classe C 2 sur R?7. Bonus La fonction f est-elle C ?Solution1 limx→+1x = 0 et limx→0ex = e0 = 1 car la fonction exponentielle est continue donc limx→+e1x = 12 f 0 = c et f est continue à gauche. De plus limx→0+ 1x = et limx→ex = 0 car la fonction exponentielleest continue donc limx→0+ e1x = 0.3
Page 4 : La fonction f est continue en 0 si et seulement si limx→0f x = limx→0+ f x ⇔c = 0Sur R+, f est continue comme composée de fonction continue et sur R, f est continue comme fonctionpolynôme. Donc f est continue sur R si et seulement si c = 03 On déterminer le taux de variation entre 0 et x :T x = f xf 0x= e1xx= µ1x e1x¶or limx→0+ 1x =0 etlimx→xex = 0 donc limx→0+1x e1x = 0. Donc letaux de variation admet une limite finie, donc f est dérivable en 0 à droite.4 Sur R+, f est dérivable comme composée de fonction dérivables et f ′x = 1x2 e1x5 f est dérivable sur Ravec f ′x = 2ax +b donc la dérivée à gauche de f est f′d0 = bDonc f est dérivable en 0 si et seulement si f′d0 = f′g0 ⇔b = 0donc f est dérivable sur R si et seulement si b = c = 06 La fonction f est dérivable sur R, de plus sa dérivée est continue sur RElle est continue en 0 car limx→02ax +b = 0 = f ′0 = limx→01x2 e1xDonc f est C 1La fonction f ′ est dérivable surExercice 6 4 points1. Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que pour tout réel x 12x 1e1x É x +12e1x+1 x2e1x É 2x +1e1x+12. En déduire la limite en +dex +12e1x+1 x2e1xxSolutionSoit g : x 7→x2e1x g est dérivable de dérivée: g ′x = e1xµ2x x2 1x2¶= e1x 2x 1gx +1gx = e1c 2c 1g ′ est dérivable de dérivée: g ′′x = e1xµ22x 1 1x2¶= e1xµ2x2 2x +1x2¶Cette fonction est croissante pour x 1On souhaite appliquer le théorème des accroisssements finis à l’intervalle x;x +1on a g continue et dérivable sur x;x +1 donc il existe c x;x +1 tel quegx +1gx = x +1xg ′c = g ′con a donc g ′x É gx +1gx É g ′x +1donc e1x 2x 1 É gx +1gx É e1x+1 2x +1donc e1x 2x 1 É x +12e1x+1 x2e1x É e1x+1 2x +1En divisant par x, on obtient:e1x 2x 1xÉ x +12e1x+1 x2e1xxÉ e1x+1 2x +1x4
Page 5 : Orlimx→+2x 1x=limx→+2x +1x= 2 etlimx→+1x = 0 et limx→0ex = e0 = 1 car la fonction exponentielle estcontinue donc limx→+e1x = 1Donc, par le théorème des gendarmes,limx→+x +12e1x+1 x2e1xx= 25
