DS1 2021 2022

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Page 1 : Cycle préparatoire 2ème annéeDevoir surveillé 1Didier Cransac, Abdessalam El Janati, Khaoula Guezguez, Ahmed Hajej, Zoghlami NaimMatière : SériesDate : Vendredi 12 novembre 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 h 30 minNombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte trois exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 8 pointsA Déterminer la nature de convergence des séries de terme général :un =13‹pn;vn = 2lnn3 + 1 lnn2 + 1B Déterminer la nature de convergence des séries de terme général :an = 1n sin 1n ;bn =1 + 1n3‹n1 ;cn = lnn × bnExercice 2. 5.5 points1.a Montrer que, pour tout entier naturel k,k 3 = k + 3kk 1 + kk 1k 2.b Montrer que la sérieXn0k 3k! est convergente et déterminer sa somme.2. Montrer que la sérieXn2un où un =1pn 12n +1pn + 1est convergente et déterminer sa somme.Exercice 3. 6.5 pointsSoit a 0,1 et unnN la suite définie par :n N, un+1 = un u2nu0 = a1. Montrer que : n N, un 0,1.2. Montrer que la suite unnN est convergente. Quelle est sa limite?3. Montrer que la sérieXn0u2n est convergente et déterminer sa somme.4. Montrer que la sérieXn0lnun+1un‹est divergente. on pourra utiliser la définition5. Quelle est la nature de la sérieXn0un ?- 1 / 1 -

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