DS1 2022 2023 Correction

Correction proposée par Mathis S.

Exercice 1 :

1.

\[\text{Soit }w\ \text{la fonction définie par }w(x) = x^{2} + 4x + \frac{1}{x - 1}\] \[\text{Alors }w^{'}(x) = 2x + 4 - \frac{1}{(x - 1)^{2}}\] \[f^{'}(x) = w^{'}(x)\cos\left( w(x) \right) = \left( 2x + 4 - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \right)\cos\left( x^{2} + 4x + \frac{1}{x - 1} \right)\] \[\forall x\mathbb{\in R\backslash}\text{\{}1\},\ f'(x) = \left( 2x + 4 - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \right)\cos\left( x^{2} + 4x + \frac{1}{x - 1} \right)\]

2.

\[\text{Soient }u\ \text{et}\ v\ \text{deux fonctions définies par }u(x) = 2x^{2} + 1\ \text{et }v(x) = x^{2} + 3\] \[\text{Alors }u^{'}(x) = 4x\ \text{et }v^{'}(x) = 2x\] \[g^{'}(x) = \frac{\left( u^{'}v - uv^{'} \right)(x)}{v(x)^{2}}\] \[= \frac{4x\left( x^{2} + 3 \right) - 2x\left( 2x^{2} + 1 \right)}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}}\] \[= \frac{4x^{3} + 12x - 4x^{3} - 2x}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} = \frac{10x}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}}\] \[\forall x\mathbb{\in R,\ }g^{'}(x) = \frac{10x}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}}\]

Exercice 2 :

1.

\[g(x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 1}\] \[g^{'}(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^{2} - 4)}{(x + 1)^{2}} = \frac{2x^{2} + 2x - x^{2} + 4}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2x + 4}{(x + 1)^{2}}\] \[g^{''}(x) = \frac{(2x + 2)(x + 1)^{2} - \left( x^{2} + 2x + 4 \right)2(x + 1)}{(x + 1)^{4}}\] \[= \frac{(2x + 2)(x + 1) - 2\left( x^{2} + 2x + 4 \right)}{(x + 1)^{3}}\] \[= \frac{2x^{2} + 2x + 2x + 2 - 2x^{2} - 4x - 8}{(x + 1)^{3}}\] \[= - \frac{6}{(x + 1)^{3}}\] \[g^{''}(x - 1) = - \frac{6}{x^{3}} = 3( - 1)^{3}\left( \frac{2!}{x^{3}} \right)\]

• \[\text{Montrons par récurrence que }\forall n \geq 2,\ g^{(n)}(x - 1) = 3( - 1)^{n + 1}\left( \frac{n!}{x^{n + 1}} \right),\]

\[\text{soit }g^{(n)}(x) = 3( - 1)^{n + 1}\left( \frac{n!}{(x + 1)^{n + 1}} \right)\] \[\text{Soit }P(n):g^{(n)}(x - 1) = 3( - 1)^{n + 1}\left( \frac{n!}{x^{n + 1}} \right)\]

• Nous venons de montrer que $P(2)$ est vraie. Montrons maintenant que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$

\[g^{(n + 1)}(x - 1)\] \[= \left( g^{(n)}(x - 1) \right)^{'}\] \[= \left( 3( - 1)^{n + 1}\left( \frac{n!}{x^{n + 1}} \right) \right)^{'}\] \[= \left( 3( - 1)^{n + 1}\ n!x^{- n - 1} \right)^{'}\] \[g^{(n + 1)}(x - 1) = 3 \times n!( - 1)^{n + 1} \times \left( - (n + 1) \right)x^{- n - 2}\] \[g^{(n + 1)}(x - 1) = 3( - 1)^{n + 2}\frac{n!(n + 1)}{x^{n + 2}} = 3( - 1)^{n + 2}\frac{(n + 1)!}{x^{n + 2}}\]

• Conclusion :

\[g^{'}(x) = \frac{x^{2} + 2x + 4}{(x + 1)^{2}}\] \[\forall n \geq 2,\ g^{(n)}(x) = 3( - 1)^{n + 1}\left( \frac{n!}{(x + 1)^{n + 1}} \right)\]

Autre méthode : Fractions partielles

• \(\text{On admet qu'il existe trois réels }A,B,C\ \text{tels que }g(x) = \frac{A}{x + 1} + Bx + C\)

\[g(x) = \frac{A + Bx(x + 1) + C(x + 1)}{x + 1}\] \[= \frac{A + Bx^{2} + (B + C)x + C}{x + 1}\]

• Par identification, on trouve $B = 1,\ C = - 1,\ A = - 3$

\[g(x) = - \frac{3}{x + 1} + x - 1\]

• Il est aisé de calculer les dérivées $n$-ièmes de cette fonction.

2.

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 + \ln(x + 1) - e^{x}}{1 - \cos(x)}\] \[\text{Nous avons }\lim_{x \rightarrow 0}\left( 1 + \ln(x + 1) - e^{x} \right) = 1 - \ln(1) - e^{1} = 0\] \[\lim_{x \rightarrow 0}\left( 1 - \cos(x) \right) = 1 - \cos(0) = 0\]

• Les fonctions $x \rightarrow \left( 1 + \ln(x + 1) - e^{x} \right)$ et $x \rightarrow \left( 1 - \cos(x) \right)$ sont dérivables au voisinage de 0 et le dénominateur ne s’annule pas au voisinage de 0, nous pouvons donc appliquer le théorème de l’Hôpital.

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 + \ln(x + 1) - e^{x}}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x + 1} - e^{x}}{\sin(x)}\] \[\text{Nous avons }\lim_{x \rightarrow 0}\left( \frac{1}{x + 1} - e^{x} \right) = \lim_{x \rightarrow 0}{\sin(x)} = 0\]

• Le numérateur et le dénominateur sont dérivables au voisinage de 0 et $\sin(x)$ ne s’annule pas au voisinage de 0, nous pouvons donc appliquer le théorème de l’Hôpital.

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 + \ln(x + 1) - e^{x}}{1 - \cos(x)}\] \[= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x + 1} - e^{x}}{\sin(x)}\] \[= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \frac{1}{(x + 1)^{2}} - e^{x}}{\cos(x)} = - 2\] \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1 + \ln(x + 1) - e^{x}}{1 - \cos(x)} = - 2\]

Exercice 3 :

1.

\[f\ \text{est sous la forme}\frac{u}{v}\ \text{ avec }u(x) = e^{x}\text{ et }v(x) = x^{e}\] \[u^{'}(x) = e^{x}\ \text{et }v^{'}(x) = ex^{e - 1} = \frac{ex^{e}}{x}\] \[f^{'} = \frac{u^{'}v - uv^{'}}{v^{2}}\] \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, f^{'}(x)= \frac{e^{x}x^{e} - ex^{e - 1}e^{x}}{\left( x^{e} \right)^{2}}\] \[= \frac{e^{x}}{x^{e}} - \left( \frac{e}{x} \right)\left( \frac{e^{x}}{x^{e}} \right)\] \[= f(x) - \left( \frac{e}{x} \right)f(x)\] \[f^{'}(x) = \left( 1 - \frac{e}{x} \right)f(x) = \left( \frac{x - e}{x} \right) \cdot f(x)\] \[\text{Ainsi }f\text{ vérifie }x \cdot f(x) = (x - e) \cdot f(x)\text{ pour tout }x > 0\]

2.

• Dressons le tableau de variations de $f$, sachant que $f$ est strictement positive sur $\rbrack 0, + \infty\lbrack$

3.

• D’après le tableau de variations précédent, $f$ admet un minimum en $e$

\[\text{La valeur de ce minimum est }f(e) = \frac{e^{e}}{e^{e}} = 1\]

Exercice 4 :

1.

• \(f\ \text{est continue sur }\mathbb{R\ }\text{si et seulement si }f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f(x)}\)

• Alors, $c = 1$

2.

• $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$

\[f^{'}(x) = \Biggl \{ \begin{matrix} 2ax + b\ \text{si }x < 0 \\ \cos(x) - \sin(x)\text{ si }x > 0 \end{matrix}\]

• \(f^{'} \text{est définie et continue en 0 si }\lim_{x \rightarrow 0^{-}}{f^{'}(x)} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f^{'}(x)}\ \text{soit}\ b = 1\)

• Alors $f^{‘}(0) = 1$

3.

• $f^{‘}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$

\[f^{'}(x) = \Biggl \{ \begin{matrix} 2a\ \text{si }x < 0 \\ - \sin(x) - \cos(x)\text{ si }x > 0 \end{matrix}\] \[f^{''}\text{est définie et continue en 0 si }\lim_{x \rightarrow 0^{-}}{f^{''}(x)} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f^{''}(x)}\] \[\text{Alors }2a = - 1\ \text{soit }a = - \frac{1}{2}\] \[\text{Alors } f^{''}(0) = - 1\]

4.

\[f^{''} \text{ est dérivable sur } \mathbb{R}^{*}\] \[f^{(3)}(x) = \Biggl \{ \begin{matrix} 0\ \text{si }x < 0 \\ \sin(x) - \cos(x)\text{ si }x > 0 \end{matrix}\] \[f^{(3)}\text{ est définie et continue en 0 si }\lim_{x \rightarrow 0^{-}}{f^{(3)}(x)} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f^{(3)}(x)}\] \[\text{Or }\lim_{x \rightarrow 0^{-}}{f^{(3)}(x)} = 0\ \text{et }\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{f^{(3)}(x)} = - 1\]

• Donc $f^{(3)}(x)$ n’est pas définie en 0, $f^{(3)}(x)$ n’est pas continue sur $\mathbb{R}$

5.

• $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{‘’}$ est continue sur $\mathbb{R}$, $f$ est donc de classe $C^{2}$

• $f$ n’est pas trois fois dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f$ n’est pas de classe $C^{3}$

Exercice 5 :

1.

• Si $f$ est dérivable sur $\lbrack a,b\rbrack,\ b > a$, alors, d’après le théorème des accroissements finis,

\[\exists c \in \rbrack a,b\lbrack,\ f^{'}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

2.

\[f^{'}(z) = - \frac{1}{z^{2}}\]

• D’après le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction $f$ sur $\lbrack x,x + 1\rbrack$,

\[\exists c \in \rbrack x,x + 1\lbrack,\ f^{'}(c) = \frac{f(x + 1) - f(x)}{x + 1 - x}\] \[\exists c \in \rbrack x,x + 1\lbrack,\ - \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\]

• On a $x < c < x + 1$

\[\Leftrightarrow x^{2} < c^{2} < (x + 1)^{2}\] \[\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}} > \frac{1}{c^{2}} > \frac{1}{(x + 1)^{2}}\] \[\Leftrightarrow - \frac{1}{x^{2}} < - \frac{1}{c^{2}} < - \frac{1}{(x + 1)^{2}}\] \[\Leftrightarrow - \frac{1}{x^{2}} < \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} < - \frac{1}{(x + 1)^{2}}\]

3.

\[\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} \right) = - \infty\] \[\lim_{X \rightarrow - \infty}{\exp(X)} = 0\]

• Donc $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{\exp\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} \right)} = 0$

N.B. : Ce résultat ne découle pas de l’inégalité précédente