DS1 2022 2023 V1
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Page 1 : Preing 1Devoir Surveille 4Matiere : AlgebreDate : Jeudi 16 mars 2023Le bareme est donne a titre indicatif.Duree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.L’usage de tout appareil electronique est interdit. Aucun document n’est autorise.Le sujet comporte 3 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 :Partie 1 :Soit a, b, c R. Soit le systeme lineaire suivant :S1 :x + 2y + 3z = ax + 2y + 4z = bx + 2y + 2z = c1. Ecrire le systeme lineaire en forme matricielle.2. Echelonner la matrice obtenue.3. Determiner les conditions sur a, b, c pour que ce systeme lineaire soit compatible incompa-tible .4. Lorsque le systeme est compatible, resoudre le systeme lineaire en fonction de a, b, c, etdeterminer son rang.Partie 2 :Soit m R. Considerons le systeme lineaire suivant :Sm : x + m + 1y = 2mx + m + 4y = 41. Resoudre en fonction de m le systeme Sm tout en precisant les conditions sur m pour quece systeme lineaire soit compatible incompatible .2. Lorsque le systeme Sm est compatible, donnez son rang.Partie 3 :Soit le systeme lineaire suivant :1
Page 2 : S2 :x + 2y + 3z + t = 2x + z + t = 0x + 2y + 2z + 2t = 0x + 2y 3z + 2t = 11. Ecrire le systeme lineaire en forme matricielle.2. Echelonner la matrice obtenue.3. Si le systeme est compatible, resoudre le systeme lineaire, et determiner son rang.Exercice 2 :1. Soit G, un groupe, et A, B G des sous-groupes de G.Montrer que A B est un sous-groupe de G.2. Soit f, g : E1, →E2, deux morphismes de groupes, soit e1 et e2 les elements neutresdes groupes respectifs E1 et E2. On rappelle qu’un morphisme de groupes verifiex, y E1:fx y = fxfy.a Montrer que x E1 ,fx1 = fx1. On admet que fe1 = e2 .b Montrer que H = x E1 / fx = gx est un sous-groupe de E1.Exercice 3 :Soit l’ensmeble I = Z × Z × R+, et une operation definie sur I par :Pour tout x1, y1, r1, x2, y2, r2 I,x1, y1, r1 x2, y2, r2 = x1 + x2, y1 + y2, r1 · r2,ou · est la multiplication usuelle sur R+ et + est l’addition usuelle sur Z.1. Montrer que I, est un groupe commutatif.2. Soit H = x, y, 5x · 3y / x, y Z. Montrer que H est un sous-groupe de I, .3. Soit f : I, →Q+, ·, x, y, r 7→r · 5x · 3y ou · est la multiplication usuelle sur Q+.a Montrer que f est un morphisme des groupes.b Calculer kerf et Imf.c Est-ce que f est un isomorphisme de groupes ?2
