DS1 2022 2023 V2
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IIDate: Vendredi 21 Janvier 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée: 1h30Nombre de pages: 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 4 pointsDéterminer, selon la valeur du paramètre m R et en utilisant le pivot de Gauss, l’ensemble des solu-tions du système :x+y+mz=13x+yz=1x2y+2z=mSolutionNotons S le système.Alors S ⇐⇒x+yy= 12y +2z= 2L2 ←L2 3L13y +3z= m 1L3 ←L3 L1⇐⇒x + y z= 1y z= 1L2 ←L2/23y +3z= m 1L3⇐⇒x + y z = 1y z = 10 = m +2L3 ←L3 +3L2On peut alors discuter suivant les valeurs de m :• Si m +2 ̸= 0, c’est-à-dire si m ̸= 2, le système n’admet pas de solutions.• Si m = 2, alors le système est équivalent འx = 0y = 1+ zL’ensemble des solutions est alors 0,z +1,z;z R.1
Page 2 : Exercice 2Discuter suivant la valeur du paramètre a R le systèmeax +1ay +1az = a2ax +1+ ay +1+ az = a a2x + y + z = 1aSolutionNotons S ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss en choisissant la troisième lignecomme pivot:S ⇐⇒x + y + z= 1aL3y + z= 0L2 aL312ay +12az= 2a2 aL1 aL3⇐⇒x + y + z = 1ay + z = 0a2a 1 = 0On distingue alors plusieurs cas. Si a 0,1/2, le système n’est pas compatible et n’admet donc pas desolutions. Si a = 0, le système est équivalent འx + y + z = 1y + z = 0et donc l’ensemble des solutions est 1, y,y; y R. Si a = 1/2, le système devientx + y + z = 1/2y + z = 0et donc l’ensemble des solutions est 1/2, y,y; y R.Exercice 3 Montrer que les lois suivantes munissent l’ensemble G indiqué d’une structure de groupe,et préciser s’il est abélien :1. x y = x+y1+xy sur G =1,1;2. x, y¡x′, y′¢=³x + x′, yex′ + y′exsur G = R2;Solution1. G, est un groupe car2
Page 3 : • est une loi de composition interne sur G : en effet, si x, y G, alors xy G. Pour prouver cela,étudions la fonction définie sur 1,1 parf t = t + y1+ t yElle est dérivable sur 1,1, et sa dérivée vérifief ′t =1y21+ t y2 0 sur¸1,1.f est donc strictement croissante sur 1,1 et on af 1 x y = f x f 1.Comme f 1 = 1+ y/1y = 1 et f 1 = 1+ y/1+ y = 1, on obtient bien que x y G.• la loi est associative : pour tout x, y,z G3,x y z = x +y z1+ xy z=x + y+z1+yz1+ x y+z1+yz= x + y + z + xyz1+ xy + xz + yzet un calcul similaire donne le même résultat pour x yz.• 0 est un élément neutre pour la loi . En effet,x 0 = 0x = x +01+0 = x.• Tout élément x G est inversible, d’inverse x. En effet, on ax x = xx = x x1x2 = 0De plus, le groupe est clairement abélien.2. Il est clair que est une loi de composition interne sur R2. De plus, - cette loi est associative :x, y¡¡x′, y′¢¡x′′, y′′¢¢= x, y³x′ + x′′, y′ex′′ + y′′ex′=³x + x′ + x′′, yex′+x′′ + y′ex′′ex + y′′ex′ex=³x + x′ + x′′, yex′+x′′ + y′ex+x′′ + y′′exx′De même,¡x, y¡x′, y′¢¢¡x′′, y′′¢=³x + x′, yex′ + y′ex¡x′′, y′′¢=³x + x′ + x′′,³yex′ + y′exex′′ + y′′exx′=³x + x′ + x′′, yex′+x′′ + y′ex+x′′ + y′′exx′3
Page 4 : et donc on a bien x, y¡¡x′, y′¢0,0 est un élément neutre de G :x, y0,0 =¡x +0, ye0 +0ex¢= x, y0,0x, y =¡0+ x,0ex + ye0¢= x, y- Tout élément x, y G admet un inverse donnée par x,y. En effet,x, yx,y =¡x x, yex yex¢= 0,0,x,yx, y =¡x + x,yex + yex¢= 0,0.De plus, le groupe n’est pas abélien, car1,00,1 =¡1,e1¢tandis que 0,11,0 =¡1,e1¢.4
