DS1 2022 2023 V3
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IIDate: Jeudi 24 Janvier 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée: 1h30Nombre de pages: 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 5 points1. Soit G, un groupe. Montrer que H est un sous-groupe de G,, si et seulement si, H est non videet pour tout x, y éléments de H,x1 y H.2. On note U l’ensemble de C suivant :U = z C;z = 1Montrer que U,. est un sous-groupe de C,..Exercice 2 2 pointsSoit G, un groupe et soit a G, tel qu’il existe un entier n, tel que an+1 = a a a ···a = e, avec el’élément neutre de G,. On note A l’ensembleA =©e,a,a2,...,anªMontrer que A, est un groupe commutatif.Exercice 3 6 pointsOn note G l’ensemble de R1X suivantG = aX +b R1X ;a ̸= 0Pour tous P = aX +b et Q = cX +d, éléments de G, on noteP Q = acX +ad +b1. Montrer que est une LCI sur G.1
Page 2 : 2. Montrer que G, est un groupe.3. G, est-il commutatif?4. L’objectif de cette question est de construire un sous-groupe commutatif de G,. On fixe k R et ondéfinitAk = aX +ka 1 G.Montrer que Ak est un sous-groupe commutatif de G,.Exercice 4 7 points1. Déterminer, selon la valeur du paramètre m R et en utilisant le pivot de Gauss, l’ensemble des solu-tions du système :x+y+mz=13x+yz=1x2y+2z=m2. En déduire de la résolution précédente le rang de la matrice:11m311122Exercice 5 3.5 pointsPour tout a R on définit le systèmeax+1ay+1az=a2ax+1+ ay+1+ az=a a2x+y+2z=1a1. Déterminer en fonction de a les solutions du système.2. Pour quelles valeurs de a le sytème est-il de Cramer?2
