DS1 2022 2023
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IDate : Mardi 25 Octobre 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 6 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 4 pointsDans l’ensemble E = 0;1;2;3;4;5;6;7, on considère les trois sous-ensemblesA = 0;2;5B = 1;2;3;4;5;6etC = 4;5;7.1. Déterminer les ensembles suivants : C c A B; AB; PC; A B×C.2. Donner une partition de A B×C contenant exactement 4 sous-ensembles notés P1,P2,P3 et P4.Solution :1. 0.75 points per ensemble.• C c A B = 0,1,2,3,6.• AB = 0,1,3,4,6.• PC = ;,4,5,7,4,5,4,7,5,7,4,5,7.• A B×C = 2,5×4,5,7 = 2,4,2,5,2,7,5,4,5,5,5,7.2. 1 point. On peut donner comme partition l’ensemble :©2,4,2,5,2,7,5,4,5,5,5,7ªExercice 5 points1. Soient P, Q et R trois propositions. On suppose que P est fausse, que Q est vraie et que R est vraie.Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies?a¡P =⇒nonQ¢ou£nonR et Q¤.b non£nonP =⇒¡Q et nonR¢¤2. Soient P, Q et R des propositions. Montrer que l’implication suivante est toujours vraie :P =⇒Q=⇒P et R =⇒Q et R.1
Page 2 : Solution :1. a 1.5 point.P =⇒nonQzFaux =⇒Faux = VraiounonR et QznonVrai et Vrai = FauxzVrai.b 1.5 point.nonnonP z Vrai=⇒¡Q et nonR¢zVrai et Faux = FauxzVrai =⇒Faux = FauxzVrai2. 2 points. Nous avonsPQRQ et RP et RP =⇒QP et R =⇒Q et RP =⇒Q =⇒P et R =⇒Q et RVVVVVVVVVVFFFVVVVFVFVFFVVFFFFFVVFVVVFVVVFVFFFVVVFFVFFVVVFFFFFVVVExercice 4 points1. Notons E l’ensemble des étudiants, S l’ensemble des jours de la semaine et pour un étudiant x, h jxson heure de réveil le jour j. Écrire avec des symboles mathématiques la proposition :« Tout étudiant se réveille au moins un jour de la semaine avant 8h »2. Soit unnN une suite de nombres réels et ℓR. Donner la négation de :ϵ 0, N N, n N, n N =⇒un ℓ ϵ.Solution :1. 2 points. L’expression : « Tout étudiant se réveille au moins un jour de la semaine avant 8h », s’écritx E,j S, h jx 8.2. 2 points. La négation est donnée parϵ 0, N N, n N, n N et un ℓ ϵ.2
Page 3 : Exercice 5 pointsLe but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété P suivante pour n 2, n N :P : Si l’entier n2 1 n’est pas divisible par 8, alors l’entier n est pair.1. Définir la contraposé d’une implication A =⇒B, A et B deux propositions.2. Ecrire la contraposée de la proposition P.3. Démontrer qu’un entier impair n s’ecrit sous la forme n = 4k +r avec k N et r 1,3.4. Prouver la contraposée de P.5. A-t-on demontré la propriété de l’énoncé?Solution :1. 0.75 points. nonB =⇒non A2. 0.75 points. Si n est impair alors l’entier n2 1 est divisible par 8.3. 1.5 points. Soit n un impair, il existe donc k′ Z tel que n = 2k′ +1. Maintenant, si k′ est pair, alors ilexiste k N, tel que k′ = 2k. Ainsin = 2k′ +1 = 4k +1.Si k′ est impair, alors il existe k N, tel que k′ = 2k +1. Ainsin = 2k′ +1 = 4k +3.Par conséquent, tout entier impair n s’ecrit sous la forme n = 4k +r avec k N et r 1,3.4. 1.25 point. Soit n 2 un entier impair. D’apres la question précédente, il existe r 1,3 tel quen = 4k +r.Ainsin2 1 = 16k2 +8kr +r 2 1 =½16k2 +8ksi r = 1,16k2 +24k +8si r = 3.Dans le deux cas n2 1 est divisible par 8.5. 0.75 points. Oui, car toute implication est équivalent à sa contraposée.Exercice 5 points1. Démontrer que pour tout entier naturel n N, 3 divise 4n +2.2. Démontrer que pour tout entier naturel n N, avec n supérieur ou égal à 8 il existe a N, b N, telquen = 3a +5b.Solution :3
Page 4 : 1. 2 points.n N, Pn :3 divise 4n +2.Initialisation :0.5 points. On a 40 +2 = 1+2 = 3. Donc P0 est vraie.Hérédité :1.5 points. Soit n N. Supposons Pn vraie, c’est-à-dire4n +2 est divisible par 3⇐⇒4n +2 = 3k,k Z.Montrons que Pn +1 est vraie, autrement dit, montrons C’est-à-dire 4n+1 +2 est divisible par 3.k′ Z,4n+1 +2 = 3k′On a4n+1 +2 = 4·4n +2= 43k 2+2Hypothèse de Recurrence= 3·4k 8+2= 3·4k 6 = 34k 2 z k′.Fin de la recurrence. Par conséquent Pn =⇒Pn +1, et on conclut que pour tout entier natureln on a3 divise 4n +22. 2 points.n N, n 8, Pn : il existe a N, b N, tel que n = 3a +5b.Initialisation :0.5 points. On a 8 = 3·1+5·1. Donc P8 est vraie.Hérédité :2.5 points. Soit n N. Supposons Pn vraie, c’est-à-dire, supposons qu’il existe a N,b N, tel quen = 3a +5b.Montrons que Pn +1 est vraie, autrement dit, montrons qu’il existe a′ N, b′ N, tel quen +1 = 3a′ +5b′.On an +1 = 3a +5b +1Hypothèse de Recurrence.Deux cas à étudier. Si b N, alors b 1 N et nous pouvons écriren +1 = 3a +5b +3·25 = 3a +2+5b 1.Si b = 0, puisque n +1 8, on conclut a 3. Ainsi a 3 N et nous pouvons écriren +1 = 3a +5·23·3 = 3a 3+5·2.Fin de la recurrence. Par conséquent Pn =⇒Pn +1, et on conclut que pour tout entier natureln 8, il existe a N, b N, tel quen = 3a +5b.4
Page 5 : Exercice 4 pointsSoit E un ensemble, soit A, B et C trois parties de E.Démontrer que :1. A = A B A Bc.2. A \B C = A \B A \C.3. PA B = PAPB.Solution :1. 1 point.A = A ; = A B Bc = A B Bc = A BA BcUne double inclusion facile permet aussi de conclure.2. 1.5 points.A\B C = AB Cc = ABc C c = AABc C c = ABc AC c = A\B A\C.3. 1.5 point. Nous avonsA PEPF⇐⇒A PEetA PF⇐⇒A EetA F⇐⇒A E F⇐⇒A PE F.D’où on conclut que PEPF = PE F.5
