DS1 2022 2023
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Page 1 : Pr´eing 2Devoir Surveill´e 1Matiere : Analyse dans RnDate : Jeudi 10 Novembre 2022L’usage de tout appareil ´electronique est interditDur´ee : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont trait´es n’est pas impos´e.♣♣♣Exercice 1. 5,5 points1. On considere l’ensemble suivant :A =n 1n/n No.a Montrer que A◦= et que A n’est pas un ferm´e.b Trouver A 0c. En d´eduire que A 0 est un ferm´e.c Montrer que A = A 0.2. Donner la d´efinition d’une distance sur l’ensemble X.3. Soit d une distance sur l’ensemble X, et δ une application d´efinie parδ : X × X →Rx, y 7→δx, y = mindx, y, 2Montrer que δ est une distance sur l’ensemble X.Exercice 2. 3,5 pointsOn note E l’espace vectoriel de toutes les fonctions de classe C1 sur 0, 1. On d´efinit l’applicationN parf E,Nf = f0 +Z 10f′t + ftdtMontrer que N est une norme sur E.Exercice 3. 7 points1. On d´efinit l’application ϑ parx, y R2,ϑx, y = maxn3x y; 5x + yo1
Page 2 : Montrer que ϑ est une norme sur R2.2. En d´eduire que ϑ et · sont ´equivalentes.3. Montrer que x, y R2,ϑx, y 6x, y.4. Soit B1 la boule unit´e ferm´ee dans R2, · et B2 = B0, 0, 6 la boule ferm´ee dansR2, ϑ. Montrer que B1 B2.5. Dessiner la boule unit´e ferm´ee dans R2, ϑ.Exercice 4. 6 points - On considere les ensembles suivants :•A =nx, y R2/3x y 1, y + 5x 1o.•B = 3, 22, 34.1. Les ensembles A et B sont-ils ferm´es, ouverts, ni ferm´es ni ouverts ? Justifier votre r´eponse.2. Pour chaque ensemble A et B d´eterminer l’int´erieur, l’adh´erence et la frontiere. Justifiervotre r´eponse.2
