DS1 2022 2023
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Page 1 : Preing 1Devoir Surveille 4Matiere : AnalyseDate : Jeudi 9 mars 2023Le bareme est donne a titre indicatif.Duree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.L’usage de tout appareil electronique est interdit. Aucun document n’est autorise.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1. 4 pointsDeterminer l’expression de la derivee de chacune des fonctions suivantes sur l’ensemble propose.1. Sur R \ 1, fx = sinx2 + 4x +1x 1.2. Sur R, gx = 2x2 + 1x2 + 3 .Exercice 2. 4 points1. Soit la fonction gx = x2 4x + 1 definie sur R \ 1, et n N.Determiner l’expression de la derivee gnx la derivee n-ieme de g.2. Determiner la limite en 0 de 1 + lnx + 1 ex1 cosx.Exercice 3 4 points. On considere la fonction f :0, +→R, definie par fx = exxe .1. Montrer que f verifie la relation suivante : x · f′x = x e · fx pour tout x 0.2. Etudier la variation de f.3. Montrer que f possede un minimum et donner la valeur de f en ce minimum.Exercice 4. 6 pointsSoit f une fonction reelle a valeurs reelles definie parfx =ax2 + bx + csi x ⩽0sinx + cosxsi x 01. Determiner les conditions sur a, b et c pour que f soit continue sur R.1
Page 2 : 2. Calculer f′x et determiner les conditions sur a, b et c pour que f′ soit continue sur R.3. Calculer f′′x et determiner les conditions sur a, b et c pour que f′′ soit continue sur R.4. Calculer f3x. Est-ce que f3x est continue sur R ?5. Est-ce que f est de classe C2 ?. Est-ce que f est de classe C3 ?Exercice 5. 6 points1. Rappeler le theoreme des accroissements finis applique a une fonction f sur le segment a, b.2. A l’aide du theoreme des accroissements finis applique a la fonction fz = 1z sur le segmentx, x + 1 pour x 0, montrer que1x2 1x + 1 1x 1x + 12 ,3. En deduire la limite en 0+ de la fonction exp1x+1 1x.2
