DS1 2022 2023
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Page 1 : Preing 2Devoir Surveille 2Matiere : Integrations et probabilitesDate : Jeudi 9 mars 2023Le bareme est donne a titre indicatif.Duree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.L’usage de tout appareil electronique est interdit. Aucun document n’est autorise.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 : Etudier la nature des integrales suivantes et donner la valeur de l’integrale, lorsquecela a un sens :1. I1 =Z +0x2e5x dx.2. I2 =Z +0dtt2 + 5t.3. I3 =Zπ40cosxpsinxdx.4. I4 =Z +0expArctanxx2 + 1dx.Indication : Vous pouvez faire les calculs avant d’etudier la nature de chaque integrale si cela estplus facile.Exercice 2 : Etudier la nature des integrales suivantes :1. J1 =Z +2lncos 1xlnx3dx.2. J2 =Z 21x1α32xβ+2 dx , α, β R.Exercice 3 : On admet les egalites suivantesZ +0lntt2 + 1 dt = 0 ,Z +0dtt2 + 1 = π2 .A l’aide du changement de variable suivant y = aex avec a 0, montrer queJ =Z +xa2ex + ex dx = π lna2a.Exercice 4 : Soit n N. On considere l’integraleIn =Z +0dxx2 + 1n .1
Page 2 : 1. Montrer que pour tout n N, l’integrale In converge.2. Montrer la relation suivante : In+1 = 2n 12nIn.3. En deduire la valeur de I5.4. En deduire la valeur de l’integrale suivante J =Z +dxx2 + 15 .Exercice 5 : Soit f la fonction definie sur R2 parfx, y = x2 · y2et D un domaine de R2 defini parD =x, y R2 : 0 x 1 ,x 1 y x + 1.1. Representer graphiquement le domaine D.2. CalculerZZDfx, ydx dy.2
