DS1 2023 2024 V1
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IDate : Mercredi 25 Octobre 2023L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h00Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 5 points1. Soient P, Q et R des propositions. Montrer, en utilisant les tables de vérité, que l’implication suivanteest toujours vraie :P =⇒Q et Q =⇒R=⇒P =⇒R.2. Soient P, Q et R trois propositions. On suppose que P est vraie, que Q est fausse et que R est vrai.Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies?a£nonP ou nonQ¤=⇒£P ou nonR¤.b non¡nonP =⇒nonQ¢et R.Solution :1. Nous avonsPQRP =⇒QQ =⇒RP =⇒Q et Q =⇒RP =⇒RP =⇒Q et Q =⇒R =⇒P =⇒RVVVVVVVVVVFVFFFVVFVFVFVVVFFFVFFVFVVVVVVVFVFVFFVVFFVVVVVVFFFVVVVV2. anonP ou nonQzFaux ou Vrai = Vrai=⇒P ou nonRzVrai ou Faux = VraizVrai.1
Page 2 : bnonnonP =⇒nonQzFaux =⇒Vrai = VraizFauxetRzVraizFaux.Exercice 5 points1. Soit f : R →R une fonction. Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :a f est une fonction constante.Solution : C R, x R, f x = C.b La fonction f s’annule sur R.Solution : x R, f x = 0.2. Soient E et F deux ensembles et f une application f : E →F. Considérons la proposition P donnéeparP : x E, y E,x ̸= y=⇒f x ̸= f ya Donner la négation de P.Solution : x E, y E,x ̸= yetf x = f yb Donner la contraposée de P.Solution : x E, y E,f x = f y=⇒x = yc Donner la négation de la contraposée de P. Comparer avec la réponse obtenue dans la question1.Solution : x E, y E,f x = f yetx ̸= y.Exercice 5 points Choisir trois des quatre questions suivants.1. Démontrer que pour tout entier naturel n N, nous avonsn! 2n1.Solution : Voir Exercice 2.10 du TD Logique et Raisonnement.2. Démontrer que pour tout entier naturel n Non anXk=1k ·k! = n +1! 1.Solution :On raisonne par récurrence sur n.Initialisation : On a1Xk=1k ·k! = 1·1! = 1 = 21 = 2!1.2
Page 3 : Donc P0 est vraie.Hérédité : Soit n N. Supposons Pn vraie, c’est-à-direnXk=1k ·k! = n +1!1.Montrons que Pn +1 est vraie, autrement dit, montronsn+1Xk=1k ·k! = n +1+1!1 = n +2!1.On computen+1Xk=1k ·k!=ÃnXk=1k ·k!!+n +1·n +1!=zHypothèse de Recurrencen +1!1+n +1·n +1!=n +1!1+n +11=n +1!n +21=n +2!1.Fin de la recurrence. Par conséquent Pn =⇒Pn + 1, et on conclut pour tout entier naturel nl’identiténXk=1k ·k! = n +1!1.3. Montrer que pour tous a,b,c Za +b +c = 0=⇒a 0 ou b 0 ou c 0.Indication : raisonner par contraposée.Solution : On raisonne par contraposition. Nous devons montrera 0 et b 0 et c 0=⇒a +b +c ̸= 0.Supposonsa 0 ; b 0 ; c 0.En additionant les trois inéquations on obtienta +b +c 0=⇒a +b +c ̸= 0.3
Page 4 : 4. Soit n N. Demontrer par l’absurde quepn2 +1 n’est pas un entier.Solution : Soit n Net supposons qu’il existe a N tel quea =pn2 +1Alorsa2 = n2 +1=⇒a2 n2 = 1=⇒a na +n = 1.Ainsia n = a +n = 1oua n = a +n = 1.Or a +n 0, donc1 = a n = a +n=⇒2n = 0=⇒n = 0.Ce qui est en contradiction avec l’hypothèse n N. Par conséquent,pn2 +1 n’est pas un entier.Exercice 5 points1. Dans l’ensemble E = 1;2;3;4;5;6;7, on considère les quatre sous-ensemblesA = 1;2;3;4,B = 3;4;6;7,C = 1;3;5;7etD = 2;3;4;5;6.a Déterminer les ensembles suivants : A BC D, A B×C D, PAc.Solution :• A BC D = 3,43,5 = 3,4,5.• A B×C D = 3,4×3,5 = 3,3,3,5,4,3,4,5• PAc = P5,6,7 = ;,5,6,7,5,6,5,7,6,7, Acb Donner une partition de AB×C D contenant exactement 3 sous-ensembles notés P1,P2 etP3.Solution : Il suffit de choisir par exemple : P1 = 3,3, P2 = 3,4 et P3 = 4,3,4,52. Soit E un ensemble, soit A, B et C trois parties de E. Démontrer que :A B C = A BA C.Solution : On ax A B C⇐⇒x A et x B C⇐⇒x A et x B ou x C=⇒zpar distributivité deet par rapport à oux A et x B ou x A et x C⇐⇒x A B ou x A C⇐⇒x A BA C.Par conséquentA B C = A BA C.4
