DS1 2023 2024 V2 Correction
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Page 1 : Préing 2 : DS 1 sujet 2 d’Analyse dans RnL’usage de tout appareil électronique est interdit.Date : Mardi 14 Novembre 2023Aucun document n’est autorisé.Durée : 1hLe barème est donné à titre indicatif.Nombre de pages : 1 page recto versoIl sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications. Lesujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.♣♣♣Exercice 1 : Questions de cours/TD 5 pointsSoit E, · un espace vectoriel normé quelconque. Soit r 0 et a un point quelconque de E.1. Soit A E. Quelles sont les définitions de : A Ouvert ? A Fermé ? 1 point2. Montrer que la boule ouverte de centre a et de rayon r, Ba, r, est un ouvert. 4 points.Correction :1. Définition d’ouvert : 0.5 pointdef 1 possible :A ouvert ⇐⇒A est voisinage de chacun de ses points.def 2 possible :A ouvert ⇐⇒x A, r 0 / Bx, r A.Définition de fermé : 0.5 pointdef 1 possible :A fermé ⇐⇒CEA ouvert.def 2 possible :A fermé ⇐⇒x CEA, r 0 / Bx, r CEA.def 3 possible :A fermé ⇐⇒CEA est voisinage de chacun de ses points.Tout autre définition sera refusée. Toute imprécision conduira à 0 pour la définition.2. Soit Ba, r la boule ouverte de centre a et de rayon r. Soit X Ba, r un point quelconquede la boule. Alors, par hypothèseX a r1
Page 2 : Soit ϵ = r X a. Or X Ba, r, X a r et donc X Ba, r, ϵ 0. Onintroduit alors la boule ouverte centrée en X et de rayon ϵ, BX, ϵ = r X a.Soit Y BX, ϵ = r X aun point quelconque de cette boule. On a alorsY X ϵ = r X aAlorsY a = Y X + X a Y X + X a r X a + X a = rdoncY a r, ce qui est équivalent à Y Ba, rOr cela est vrai Y BX, ϵ = r X a, doncX Ba, r, BX, ϵ = r X aBa, rFinalement Ba, r est un ouvert.1 point si c’est le bon rayon de boule r′ qui est donné.1 point si il est justifié que r′ 0.1 point si il est correctement démontré que Y a r.1 point pour conclure correctement à partir du point précédent.Exercice 2 : 2 normes sur l’espace des matrices 9 pointsSoit n, p N. Soit Mn,pR l’espace vectoriel des matrices de n lignes et p colonnes à coefficientsréels. Soit A Mn,pR une matrice quelconque. On définit alors les deux applicationsfA =nXi=1pXj=1aijetgA = max1in1jpaijoù aij est l’élément de la ligne i et de la colonne j de la matrice A.1. Montrer que f et g sont des normes sur Mn,pR. 4.5 points2. Déterminer α, β 0 tels que :A Mn,pR, αgA fA βgA2 points3. Ces normes sont-elles équivalentes ? 0.5 point4. Soit n = p = 2. On note 0M22, l’élément nul de M22. Soit Sf0M22, r = 1 et Sg0M22, r = 1les sphères de rayon 1 et de centre 0M22 associées aux normes f et g. Donner un élément Cquelconque de Sf0M22, r = 1 et un élément D quelconque de Sg0M22, r = 1. 2 points2
Page 3 : Correction :1. Montrons que f est une norme :a Séparation : 0.5 pointSoit fA = 0, alorsnXi=1pXj=1aij = 0 =⇒i, j, aij = 0b Absolue homogénéité : 0.5 pointSoit A une matrice de Mn,pR ses éléments seront notés aij et λ R. Alors λA est lamatrice dont ls éléments sont donnés par λaij. Calculons la norme de ce nouveau vecteurfλA =nXi=1pXj=1λaij =nXi=1pXj=1λ × aij = λnXi=1pXj=1aij = λfAc Inégalité triangulaire : 1 pointSoit A et B deux matrices de Mn,pR leurs éléments seront notés aij et bij. Calculonsla norme f de A + BfA + B =nXi=1pXj=1aij + bij nXi=1pXj=1haij + biji= fA + fBcar i, j, aij + bij aij + bij inégalité triangulaire dans R.Montrons que g est une norme :a Séparation : 0.5 pointSoit gA = 0, alorsmax1in1jpaij = 0 =⇒i, j, aij = 0b Absolue homogénéité : 0.5 pointSoit A une matrice de Mn,pR ses éléments seront notés aij et λ R. Alors λA est lamatrice dont ls éléments sont donnés par λaij. Calculons la norme de ce nouveau vecteurgλA = max1in1jpλaij = max1in1jpλ × aij = λ max1in1jpaij = λgAc Inégalité triangulaire : 1.5 pointSoit A et B deux matrices de Mn,pR leurs éléments seront notés aij et bij. Alorsi, j, aij + bij aij + bij max1in1jpaij + max1in1jpbij = gA + gB1On voit donc quei, j, aij + bij gA + gB3
Page 4 : La relation précédente est en particulier vraie pour la valeur de i, j qui maximise aij +bij. Doncmax1in1jpaij + bijgA + gBFinalementgA + B gA + gBPour cette question, il faut vraiment passer par la relation 1. Si cette relation n’est pasécrite alors 0.2. Déterminons α, β 0 tels que :A Mn,pR, αgA fA βgAMontrons que A Mn,pR, αgA fA : 1 pointSoit A une matrice quelconque de notre espace vectoriel. AlorsgA = max1in1jpaijSoit i0, j0 le couple de valeurs tel que l’on maximise aij. Prenons maintenant la norme ffA =nXi=1pXj=1aij = ai0j0 +Xi̸=i0Xj̸=j0aij = gA +Xi̸=i0Xj̸=j0aijor Pi̸=i0Pj̸=j0 aij 0 d’où l’on déduit queA Mn,pR, gA fAα = 1Montrons que A Mn,pR, fA βgA : 1 pointi, j aij max1in1jpaij= gAd’où l’on déduit quenXi=1pXj=1aij n × pgAFinalement, on aA Mn,pR, gA fA np × gA3. Deux façons de répondre. 0.5 pointMéthode 1 :L’inégalité obtenue à la question précédente prouve, par définition, que les deux normes sontéquivalentes.4
Page 5 : Méthode 2 :L’espace Mn,pR est un espace de dimension finie dim= np. Or on sait d’après le coursque sur un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.4. Commençons par définir ces ensembles 0.5+0.5 pointSf0M22, r = 1 =nC M22R/fC = 1o⇐⇒C Sf0M22, r = 1 ⇐⇒2Xi=12Xj=1cij = 1Sg0M22, r = 1 =nD M22R/gD = 1o⇐⇒D Sg0M22, r = 1 ⇐⇒max1i21j2dij= 1On peut par exemple prendre 0.5+0.5 pointC = 14141414etD =01410Exercice 3 : un peu de topologie dans R 6 pointsOn munit R de sa norme usuelle · . Soit a R. Soit les ensembles suivantsI1 =a; +I2 = 0; 11; 2 31. Déterminer si les ensembles précédents sont ouverts, fermés, ou aucun des deux en passantsoit directement par les définitions soit en utilisant les suites d’éléments de R. 2 points2. Déterminer l’adhérent de I1 et l’intérieur de I2 par la méthode de votre choix. 4 pointsCorrection :1. Commençons par I1 :Ouvert ? exemple de méthodeS’il y a un soucis, le soucis est en a. Soit x I1. Considérons alorsB x, r = x a = x x a; x + x a =a; 2x aor x I1, r 0. De plus y B x, r = x a, y a donc y I1. Ainsi x I1,B x, r = x a I1 et donc I1 est un ouvert.0.5 point.Fermé ? exemple de méthodeSoit la suite un = a + 1n. Alors n 1, un I1. Toutefoislimn→+un = a /I15
Page 6 : Donc I1 n’est pas un fermé. 0.5 pointPoursuivons avec I2 :Ouvert ? exemple de méthodeClairement, il y a un problème en plusieurs points. Nous allons considérer 3 par exemple.Soit r 0 et B3, r =3 r; 3 + r. Considérons y = 3 + r2 B3, r. Alors, r 0, y /I2et finalement r 0, B3, r ̸I2 et I2 n’est pas un ouvert. 0.5 pointFermé ? exemple de méthodeSoit un = 1 1n. Alors n 2, un I2. Orlimn→+un = 1 /I2Donc I2 n’est pas un fermé. 0.5 point2. Détermination de I1 :Etape 1 : On propose un candidat sur la base du fait que l’adhérent de I1 est le plus petitfermé contenant I1 : C = a; + 0.5 point.Etape 2 : Puis on vérifie que I1 C et que C est un fermé.Or par corollaire du cours on sait qu’un ensemble de la forme a; + est bien un fermé.De plus, C = I1 a d’où l’on déduit que I1 C.On sait alors que I1 C 0.5 point.Etape 3 : Il ne reste plus qu’à montrer que C I1 ce qui est équivalent àx C\I1, r 0, Bx, r I1 ̸= où dit autrement que tous les points de C\I1 appartiennent bien à I1.Or ici C\I1 = a. On peut par exemple introduire la suiteun = a + 1ndonc, pour n 0, tous les éléments de la suite appartiennent à I1. Orlimn→+un = aDonc a appartient bien à I1. 1 pointOn a donc I1 = C = a; +.6
Page 7 : Détermination de ˚I2 :Etape 1 0.5 point : proposons un candidat sur la base du fait que l’intérieur de I2 estle plus grand ouvert contenu dans I2. Ainsi, posonsC =0; 11; 2Etape 2 0.5 point : Nous devons vérifier que C est bien un ouvert et que C I2.D’après un corollaire du cours, a, b R, tels que a b, l’intervalle a; b est un ouvert.De plus d’après une autre propriété du cours, une union quelconque d’ouvert est un ouvert.Ainsi on déduit que C est bien un ouvert.De plus I2 = C 0 2 3 ce qui implique que C I2.D’après le TD, on sait alors que C ˚I2.Etape 3 1 point : Nous devons maintenant vérifier que ˚I2 C.˚I2 C ⇐⇒x I2\C, r 0, Bx, r ̸I1Ici I2\C = 0 2 3.Soit r 0 et soit B0, r = r; +r la boule centrée en 0 et de rayon r. Considérons alorsy = r2 Bb, r. Or, r 0, y 0 donc y /I2. Ainsi r 0, Bb, r ̸I2 et donc 0 /˚I2.De la même façon, nous pouvons montrer que 2, 3 /˚I2 et finalement˚I2 = C =0; 11; 2.0.5 si ˚I2 est donné sans justificatif ou que le reste de la démonstration est faux.0.5 si I1 est donné sans justificatif ou que le reste de la démonstration est faux.7
