DS1 2023 2024 V3
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Page 1 : Préing 1, GC–MI1–MIM1–MIM2–SUPMDevoir Surveillé 1Matière : Algèbre IIDate : mercredi 6 mars 2024L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1hNombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications. Le sujetcomporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé. Le barème est indicatif.♣♣♣Exercice 1 3 pts, questions de cours. Soient G et G′ des groupes d’éléments neutres respectifs e ete′, et soit f : G →G′ un morphisme de groupe.1. 1 pt Rappeler la définition de ker f, le noyau de f.2. 2 pts Démontrer que ker f est un sous-groupe de G.Exercice 2 6 pts. Sur l’ensemble Q2, on définit une loi de composition interne par :a, b, a′, b′ Q2,a, b a′, b′ = aa′ + 2bb′, ab′ + a′b.1. 1,5 pt Montrer que est associative et commutative.2. 1 pt Montrer que le magma Q2, possède un élément neutre.3. Dans cette question, on considère a, b Q2 tel que a, b ̸= 0, 0.a. 1 pt Calculer a, b a, b.b. 1 pt Montrer que a2 2b2 ne peut pas être nul.c. 0,5 pt En déduire que a, b est symétrisable et donner l’expression de son symétrique.4. 1 pt Montrer que pour tous a, b, a′, b′ Q2, on a :a, b a′, b′ = 0, 0 =⇒a, b = 0, 0 ou a′, b′ = 0, 0.En déduire que est une loi de composition interne sur G = Q2 \0, 0 et que G, est un groupe.Exercice 3 5 pts. Soit n N. On note ωn = ei 2πn et on considère l’application :f : Z→Ck7→ωkn1. 2 pts Montrer que f est un morphisme de Z, + dans C, ×.2. 2 pts Déterminer le noyau et l’image de f.3. 1 pt En déduire que Un, l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, est un sous-groupe de C, ×.Exercice 4 6 pts. Soit m R un paramètre. On considère le système linéaire d’inconnues x, y, z :x +y + 2z = 1mx +y + z = 1x + my + z = 2m.Sm1. 1 pt Écrire la matrice augmentée Am associée à Sm.2. 2 pts Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss pour échelonner Am.3. 1 pt En déduire que le rang de Sm est strictement inférieur à 3 si et seulement si m = 1 ou m = 0.4. 2 pts Pour m = 1 et m = 0, dire si le système est compatible et déterminer l’ensemble des solutionsle cas échéant.
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