DS1 2023 2024 V3
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Page 1 : Preing 1 :MI5, MIM2, GC et SUPMECADevoir Surveille 1Matiere : Analyse IIDate : Mercredi 13 mars 2024L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1hNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications. Lesujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 6 points. Soient a, b, c R, et f une fonction definie de R →R par :fx =ax2 + bx + csi x 0sin xsi x 01. Determiner une condition pour que f soit continue sur R.2. Determiner f ′ sur R. A quelle condition f ′ est continue sur R ?3. Determiner f ′′ sur R. A quelle condition f ′′ est continue sur R ?4. En deduire les valeurs de a, b et c pour que f soit une fonction de classe C2 sur R.5. f est-elle C3 sur R ?Exercice 2 7 points. On considere la fonction f definie parfx = xe1x ,x R.1. Montrer que f est continue sur R.2. Montrer que f est derivable sur Ret donner sa derivee.3. Soit x 1. Rappeler le theoreme des accroissements finis sur l’intervalle x, x + 1.4. En deduirelimx→+x + 1e1x+1 xe1x .Exercice 3 7 points. Suite a une epidemie dans une region, on examine le nombre de personnes maladesdurant une periode de 45 jours. Le nombre de personnes malades est ainsi modelise par la fonctionfx = 45x2 x3 + 100 ,x 0, 45.En d’autres termes fx est le nombre des malades apres x jours.1. Determiner le nombre de personnes malades prevu par ce modele au bout de 10 jours.2. Montrer que la derivee de la fonction f estf ′x = 3x30 x.3. Determiner le signe de f ′x sur 0, 45 et en deduire la variation de f.Tournez la page SVP1
Page 2 : 4. Determiner le jour ou le nombre de personnes malades est maximal durant cette periode de 45jours tout en precisant le nombre des malades ce jours la.Exercice 4 2 points BONUS. Soit f : R →R une fonction continue, derivable sur R et periodiquede periode T.1. Donner la definition d’une fonction periodique de periode T.2. Montrer qu’il existe c R tel que f ′c = 0.2
