DS1 2023 2024 V4 Correction
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Page 1 : 2023/2024Semestre 1 – PréIng 2Mercredi 25 OctobreSériesDevoir Surveillé 1◁Consignes ▷Durée : 60 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L’épreuve est composée d’exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l’épreuve ▷Exercice 12ptsÉnoncer la définition d’une série alternée et le Théorème Spécial des Séries Alternées.Exercice 26ptsPour n 2 on considère la série de terme général un =2n + 3nn2 1.1. Déterminer la nature de la sérieXn2un.2. Pour n 2 donner la décomposition de un en éléments simples.3. Calculer la somme de la sérieXn2un.Réponse.1. On reconnait une fraction rationnelle. On en déduit que un 2nn3 =2n2 qui est de signeconstant et sommable car série de Riemann avec α = 2 1.On conclut donc avec le théorèmed’équivalence que la série un converge.2. Le dénominateur se factorise : nn2 1 = n + 1nn 1, d’où la décomposition en éléments simplesun =12n + 1 + 3n +52n 1.3. Pour tout n 2, la somme partielle peut s’écrirenXk=2uk = 12nXk=21k + 1 3nXk=21k + 52nXk=21k + 1= 12n+1Xk=31k 3nXk=21k + 52n1Xk=11k= 12 1n +1n + 1312 + 1n+ 521 + 12= 94 + O 1n.En passant à la limite n →+on en déduit que+Xn=2un = 94.1
Page 2 : Exercice 39ptsDéterminer la nature des séries suivantes1.XnN1nnn2 + 12.Xn1an+1n, a R3.Xn21n lnn + 1n 1Réponse. On notera un le terme général des séries.1. On remarque que un =nn2 + 1 1n3/2 qui est sommable car série de Riemann avec α = 32 1. Onen déduit que la série à termes positifsXnNun converge par le Théorème d’équivalence. On conclutque la sérieXnNun converge absolument.On aurait aussi pu utiliser le théorème spécial des séries alternées en justifiant rigoureusement que lasuite un est monotone décroissante vers 0.2. Pour a = 0 on reconnait la série nulle qui est convergente. Pour tout a ̸= 0 et n 1 : un ̸= 0. Onpeut donc utiliser la règle de d’Alembert :un+1un = ann + 1 →a. On distingue quatre cas :• Si a 1 alors la série est absolument convergence• Si a 1 alors la série diverge grossièrement.• Si a = 1 on reconnait la série harmonique qui est divergente.• Si a = 1 on reconnait la série harmonique alternée qui est convergente.3. Pour tout n 2 on peut réécrire un = 1n ln1 +2n 1où 1+2n 1 1 d’où ln1 +2n 1 0doncXn1un est une série alternée.De plus la suite vnn1 =1 +2n1n1 est monotone décroissante de limite 1 puisque pour toutn 1vn+1 vn = 1 + 2n 1 +2n 1= 2 1n 1n 1 0etlimn→+2n 1 = 0.La fonction ln étant monotone sur R+, on en déduit que la suite un estmonotone décroissante de limite 0.On peut donc utiliser le théorème spéciale des séries alternées et conclure que la série converge.Exercice 44ptsOn considère la série de terme général un = n2 et on note Sn sa suite de sommes partielles : Sn =nXk=1uk.1. Montrer que pour tout n 1,Z n0t2 dt Sn Z n+11t2 dt.2. En déduire que Sn est équivalent à 13 n3 lorsque n →+.Réponse.1. La fonction x →x2 est croissante sur R+. On en déduit que pour tout k 1 :Z kk1x2 dx uk Z k+1kx2 dxOn encourage à faire un dessin rapide sur votre copie pour illustrer cet encadrement.On peut alors sommer pour k allant de 1 à n et obtenir avec la relation de Chasles :nXk=1Z kk1x2 dx =Z n0x2 dx Sn nXk=1Z k+1kx2 dx =Z n+11x2 dx.2
Page 3 : 2. On calcule les intégrales :Z n0x2 dx =13x3n0= 13n3,etZ n+11x2 dx =13x3n+11= 13n + 13 1.De plus, quand n →+on a 13n + 13 113n3. On en déduit par encadrement que Sn 13n3.3
