DS1 2023 2024 V4
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Page 1 : 2023/2024Semestre 1 – PréIng 2Mercredi 25 OctobreSériesDevoir Surveillé 1◁Consignes ▷Durée : 60 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L’épreuve est composée d’exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l’épreuve ▷Exercice 12ptsÉnoncer la définition d’une série alternée et le Théorème Spécial des Séries Alternées.Exercice 26ptsPour n 2 on considère la série de terme général un =2n + 3nn2 1.1. Déterminer la nature de la sérieXn2un.2. Pour n 2 donner la décomposition de un en éléments simples.3. Calculer la somme de la sérieXn2un.Exercice 39ptsDéterminer la nature des séries suivantes1.XnN1nnn2 + 12.Xn1an+1n, a R3.Xn21n lnn + 1n 1Exercice 44ptsOn considère la série de terme général un = n2 et on note Sn sa suite de sommes partielles : Sn =nXk=1uk.1. Montrer que pour tout n 1,Z n0t2 dt Sn Z n+11t2 dt.2. En déduire que Sn est équivalent à 13 n3 lorsque n →+.1
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