DS1 2023 2024 V5
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Page 1 : 2023/2024Semestre 1 – PréIng 2Mercredi 25 OctobreSériesDevoir Surveillé 1◁Consignes ▷Durée : 60 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L’épreuve est composée d’exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l’épreuve ▷Exercice 12ptsÉnoncer les théorèmes de convergence des Séries de Riemann et des Séries de Riemann Alternées.Exercice 28ptsDéterminer la nature des séries suivantes1.XnN3n3 4n + 1n4 + 22.Xn2ln1 1nn3.Xn1bnna , a, b R4.XnNsinn1 + n2Exercice 36ptsOn considère la série de terme général un = n et on note Sn sa suite de sommes partielles : Sn =nXk=1uk.1. Montrer que pour tout n 1,Z n0x dx Sn Z n+11x dx.2. En déduire que Sn est équivalent à 23 n3/2 lorsque n →+.Exercice 46ptsPour a R et n 1 on considère la série de terme général un = 1ncos 1na1.1. Déterminer la nature de la sérieXn1un quand a 0.2. Pour a 0, donner un équivalent de un quand n tend vers l’infini.3. Déterminer la nature de la sérieXn1un quand a 12.4. Justifier que pour tout a 0, 12il existe un k0 N tel que si vn = o1n2k0aalorsXnNvn converge.5. Déterminer la nature de la sérieXn1un quand a 0, 121
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