DS1 2023 2024
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Page 1 : Préing 2 : DS 1 sujet 1 d’Analyse dans RnL’usage de tout appareil électronique est interdit.Date : Lundi 13 Novembre 2023Aucun document n’est autorisé.Durée : 1hLe barème est donné à titre indicatif.Nombre de pages : 1 page rectoIl sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications. Lesujet comporte 3 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.♣♣♣Exercice 1 : Questions de cours/TD 4.5 pointsSoit E, · un espace vectoriel normé quelconque. Soit r 0 et a un point quelconque de E.Montrer que la boule fermée de centre a et de rayon r, Ba, r, est un fermé.Exercice 2 : 2 normes sur R2 9 pointsSoit les deux applications suivantes définies sur R2N1x, y = 3x + y + x + yetN2x, y = 12x + y1. Montrer que N1 et N2 sont des normes sur R2. 4.5 points2. Que signifie que les normes N1 et N2 sont équivalentes ? 1 point3. Ces normes sont-elles équivalentes ? 0.5 point4. Tracer la sphère associée à la norme N1 de centre 0, 0 et de rayon r = 1. 3 pointsExercice 3 : un peu de topologie dans R 6.5 pointsOn munit R de sa norme usuelle · . Soit a, b R tels que a b. Soit les ensembles suivantsI1 =a; bI2 = 1; 10; 2 31. Déterminer si les ensembles précédents sont ouverts, fermés, ou aucun des deux en passantsoit directement par les définitions soit en utilisant les suites d’éléments de R. 2.5 points2. Déterminer l’intérieur de I1 et l’adhérent de I2 par la méthode de votre choix. 4 points1
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