DS1 2023 2024
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Analyse IDate : 13/11/2023L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h00Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 4 points : Choisir deux des trois questions suivants. Résoudre, dans R, les équations et inéqua-tions suivantes :1. sin¡2x π3¢= cos¡ x3¢.Solutions : Nous avonssin³2x π3= cos³x3= sin³π2 x3.Par conséquent, sin¡2x π3¢= cos¡ x3¢si et seulement si2x π3 π2 x3 2π ou 2x π3 ππ2 + x3 2π⇐⇒7x3= 5π6+ 2kπ, k Z ou 5x3= 5π6+ 2kπ, k Z⇐⇒x = 5π14 + 6kπ7 , k Z ou x = π2 + 6kπ5 , k Z2. 2cos2x+9cosx+4 = 0.Solutions : Nous avons0 = 2cos2x+9cosx+4 = 2cosx+4µcosx+ 12¶1
Page 2 : Ainsi0 = 2cos2x+9cosx+4⇐⇒cosx = 12 = cosµ2π3¶⇐⇒x = 2π3 +2kπ, k Zoux = 2π3 +2kπ, k Z3. x 2+x +3 1.Solutions : Nous avonsx 2+x +3 1 ⇐⇒x +3 1x 2 ⇐⇒1+x 2 x +3 1x 2Si x 2, alorsx 2+x +3 1 ⇐⇒1+ x 2 x +3 1x +2 ⇐⇒x 3 x +3 x +3 ⇐⇒2x 6 2x 0.Ce qui est impossible car x 2, donc il n’y a pas de solution sur l’intervalle 2,+. Si x 2, alorsx 2+x +3 1 ⇐⇒1x +2 x +3 1+ x 2 ⇐⇒x +1 x +3 x 1 ⇐⇒2x 2 0 4.Ce qui est impossible, il n’y a donc pas de solution sur l’intervalle ,2.Exercice 2 : 5 points1. Trouver sous la forme pq , le rationnel x dont les développement décimal périodiques est donné par :2,7118.Solution : Soit r =. L’idée est d’abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Icila période commence deux chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100 :100r = 271,18.1Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, donc ici on multiplie par100 pour décaler de 2 chiffre :100×100r = 27118,182Les parties après la virgule des lignes 1 et 2 sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant2-1 alors les parties décimales s’annulent :100×100r 100r = 27118271.Donc 9900r = 26847 et2,7118 = 268479900 .2
Page 3 : 2. On considère la fonction :f x =Ex2Ex1,où Ex désigne la partie entière de x.a Justifier que f est définie sur R tout entier.Solution : Nous avons2Ex1 = 0 ⇐⇒Ex = 12.Ce qui est impossible car Ex Z. Donc f est définie sur R tout entier.b Déterminer, s’il en existe, tous les antécédents de 1.Autrement dit, déterminer la solution de l’équation f x = 1.Solution : Nous avonsf x = 1⇐⇒Ex2Ex1 = 1⇐⇒Ex = 2Ex1⇐⇒Ex = 1Donc x 1,2.c Déterminer, s’il en existe, tous les antécédents de 3.Autrement dit, déterminer la solution de l’équation f x = 3.Solution : Nous avonsf x = 3⇐⇒Ex2Ex1 = 3⇐⇒Ex = 6Ex+3⇐⇒Ex = 37.Or Ex Z, donc il n’y a pas d’antécédent pour 3.Exercice 3 4 points : Choisir deux des trois questions suivants. Calculer les sommes et les produits sui-vants :1.nXk=132kSolution : Nous avonsnXk=132k=nXk=19k=nXk=09k90=9n+1 1911 = 99n 182.n1Xk=01k3kÃnk!3
Page 4 : Solution : Nous avonsn1Xk=01k3kÃnk!=n1Xk=0Ãnk!µ13¶k=n1Xk=0Ãnk!1nkµ13¶k=nXk=0Ãnk!1nkµ13¶kµ13¶n=µ113¶nµ13¶n=µ23¶nµ13¶n.3.nYk=02k +1Solution : Nous avonsnYk=02k +1=Ã2n+1Yk=1k!·ÃnYk=12k!1=Ã2n+1Yk=1k!·ÃnYk=1k!1·ÃnYk=12!1=2n +1!· 1n! · 12n=2n +1!2nn!Exercice 4 7 points : On considère les ensembles A et B suivantsA =,½x R\1 :2x 1 2x 5 11¾;B =½2n2n 1 : n N¾.1. Les ensembles A et B sont-ils majorés, minorés? Justifier votre réponse.Solution : Commençons par étudier l’ensemble A. Nous avonsx A ⇐⇒2x 1 2x 5 11⇐⇒0 2x 5x 12x 1etx 8⇐⇒0 2x2 7x +3x 1etx 8⇐⇒0 2x 1x 3x 1etx 8En faisant un tableau de signe, nous pouvons conclure quex A⇐⇒x µ·12,1·3,+¶,8.4
Page 5 : AinsiA =·12,1·3,8.Par conséquent, A est majorée par tout réel supérieur ou égal à 8, et A est minorée par tout réelinférieur ou égal à 12.Solution : Pour B, nous avons2n2n 1 = 2n 1+12n 1= 1+12n 1 1.De plus12n 1 1=⇒1+12n 1 2.Ainsi, B est minorée par tout réel inférieur ou égal à 1 et majorée par par tout réel supérieur ou égal à2.2. Pour chaque ensemble A et B déterminer, s’il existe, les bornes supérieure et inférieure ainsi que leplus grand et le plus petit élément. Justifier votre réponse.Solutions : Commençons par étudier l’ensemble A. D’après la question précédente, nous avonsA =·12,1·3,8.Doncsup A = 8etmin A = inf A = 12.Étudions maintenant l’ensemble B. D’après la question précédente, nous avonsn N, 1 2n2n 1 2.Or2 =2121 1=⇒2 B.Ainsi, 2 est un majorant de B qui appartient à B. Ce qui nous permet de concluremaxB = supB = 2.Finalement, pour tout n Non a2n2n 1 infB.Donc par passage à la limite, on obtient1 = limn→+2n2n 1 limn→+infB = infB.Or, on sait que 1 infB. Par conséquentinfB = 1.Notons que 1 B, donc B ne possede pas de minimum.5
