DS1 2023 2024
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Page 1 : Préing 2Devoir Surveillé 1Matière : Intégration et probabilitésDate : Mercredi 13 Mars 2024L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1hLe barème est donné à titre indicatif.Nombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Exercice 1 6 pointsa Soit f une fonction continue et positive sur l’intervalle 1, +. Énoncer le critère de Riemann pour l’intégraleR +1fxdx.Application : On considère l’intégraleI =Z +1explnx2dx.Montrer que cette intégrale converge. Donner une interprétation graphique.b Donner la formule du changement de variable en rappelant toutes les hypothèses.Application : On considère l’intégraleJ =Z +11x 134 x54 dx.Montrer que cette intégrale converge. Déterminer la valeur de cette intégrale à partir du changement de variable u = 1x.Exercice 2 4 pointsMontrer que pour n 2, l’intégrale un définie parun :=Z1401t lntn dtest convergente. La série P un pour n 2 est-elle convergente ? Justifier.Exercice 3 8 pointsDéterminer la nature des intégrales suivantes. Pour les intégrales convergentes, déterminer leur valeur.I1 =Z e1explnx12 lnx12 xdx.I2 =Zπ20sinx1 cosxdx;I3 =Z +22x3 3x2 + 4x 2dx;I4 =Z +1lnxx3 dx;Exercice 4 4 pointsSoit la fonction polynomiale f et le domaine D définis parfx, y = x + y2etD =x, y R2 ; x 1, 0 y, y x.Représenter le domaine D puis calculer l’intégraleRRD fx, ydxdy.1
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