DS1 2024 2025 V1 Correction
Télécharger le DS1 2024 2025 V1 Correction en pdf
Page 1 : 2024/2025Semestre 2 – PréIng 2Mercredi 5 MarsIntégration et ProbabilitésContrôle Continu 1◁Consignes ▷Durée : 60 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L’épreuve est composée d’exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l’épreuve ▷Exercice 14 pts1. Soit f et g deux fonctions définies sur l’intervalle 0; +.Énoncer le théorème d’intégration parparties sur un intervalle 0; + en rappelant les hyptohèses.2. Après avoir montré que l’intégrale suivante converge, calculer la valeur deI =Z +1lntt2dt.Réponse.1. Si f et g sont C1 sur 0, + et que le produit fg admet une limite finie en 0 et en +,c’est-à-dire :limt→0 ftgt = ℓR,limt→+ftgtℓ′ Ralors les intégralesZ +0f ′g etZ +0fg′ ont la même nature. Si elles convergent alorsZ +0ftg′t dt =hftgti+0Z +0ftg′t dt.2. On va procéder par intégration par partie. On pose f : t 7→lnt et g : t 7→1t . Les fonctions f et gsont C1 sur 0, + et on alimt→1 ftgt = limt→1lntt= ln11= 0,limt→+ftgt =limt→+lntt= 0car lntt→+t.Le théorème de l’intégration par partie nous dit donc que I a la même nature queZ +1f ′tgt dt =Z +11t2 dtqui est convergente car intégrale de Riemann en +avec α = 2 1 donc I converge. De plusI =lntt+1Z +11t2 dt= 0 0 1t+1= 0 + 1 = 1.1
Page 2 : Exercice 25 ptsDéterminer la nature de l’intégrale suivanteI =Z +1lnt 1 lnt dt.Réponse. On pose f : t 7→lnt1lnt. La fonction f est continue sur 1, + car somme de logarithmesqui sont continus sur cet intervalle. Pour déterminer la nature de I il faut donc étudier la convergence del’intégrale au voisinage de 1 et la convergence au voisinage de +. Séparons I en deux parties :I =Z 21ft dt +Z +2ft dt.et étudions en premier la deuxième partie, la convergence de l’intégrale de f au voisinage de l’infini. Nousallons raisonner par équivalence. En utilisant le développement limité de u 7→ln1 + u quand u →0 on aft = lnt 1t= ln1 1tt→+1t .On remarque que t →1test continu, de signe constant négatif et non-nulle sur 2, +, le théorèmed’équivalence pour les intégrales généralisées nous dit alors que les intégralesZ +2f etZ +21t dt ont lamême nature. On reconnait une intégrale de Riemann divergente α = 1 1 et on en déduit que l’intégraleZ +2f diverge. Par définition des intégrales généralisées, on conclut que l’intégrale I diverge.Exercice 34 ptsDéterminer la nature et, si elle converge, calculer la valeur de l’intégraleJ =Z +0ett dt.Réponse. Pour étudier la nature de J on va procéder par changement de variable. On pose u =t, lafonction t →t est C1 sur 0, + et elle est strictement croissante donc c’est une bijection, elle envoie0, + sur lui-même. Le théorème du changement de variable nous dit alors que J a la même nature quel’intégraleZ +0euu 2u du = 2Z +0eu duqui est convergente intégrale de référence, donc J converge. De plusJ = 2Z +0eu du = 2eu+0= 20 + 1 = 2.Exercice 47 ptsOn considère la suite de fonctions fnnN définies surhπ4 , π4iparfnt =11 + 1 + sintn .1. Selon la valeur de t hπ4 , π4idéterminer la limitelimn→+1 + sintn.2. Calculer, si elle existe, la limitelimn→+Zπ4π4fnt dt.2
Page 3 : Réponse.1. La valeur de la limite demandée dépend du signe de sint, on peut distinguer 3 cas :Si t hπ4 , 0halors 1 sint 0 donc 1 + sint 1 etlimn→+1 + sintn = 0Si t = 0 alors sint = 0 donc 1 + sint = 1 etlimn→+1 + sintn = 1Si t i0, π4ialors 0 sint 1 donc 1 + sint 1 etlimn→+1 + sintn = +2. On va utiliser le théorème de convergence dominée sur l’intervalle d’intégration I =hπ4 , π4i:• Pour tout n N, la fonction fn est continue sur I comme quotient de fonctions continues avec undénominateur non nul puisque pour tout t I, 1 + sint 0.• On déduit de la question 1 que la suite de fonction fn converge simplement sur I vers la fonctionf : t 7→1si t hπ4 , 0h12si t = 00si t i0, π4i.La limite simple f est bien continue par morceaux sur I.• Pour tout t I, 1 + sint 0 donc fnt 1. Posons φ : t 7→1, cette fonction est continue etintégrable sur I puisqu’elle est constante et I est borné, et on a t I, n N, fnt φt.Le théorème de convergence dominée nous permet donc d’affirmer que f est intégrable et quelimn→+ZIfnt dt =ZIft dt =Z 0π/41 dt +Z π/400 dt = π4 .Remarque : Le théorème de convergence dominée a été énoncé dans le cours avec hypothèse de continuitéde la limite simple f sur l’intervalle I. Néanmoins, il a été mentionné que tous les résultats de ce chapitrepeuvent être étendus au cas de fonctions qui sont seulement continues par morceaux.En l’occurence pour cet exercice, on aurait aussi pu séparer l’intervalle I en deux morceauxhπ4 , 0heti0, π4iafin d’appliquer le théorème de convergence dominée avec une limite simple continue sur chacun desmorceaux. La relation de Chasles permet alors de retrouver le résultat ci-dessus.3
