DS1 2022 2023 V2 DS-Algebre2 PREING1 S2

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Correction réel de l’exo 1 (le reste des exo n’a pas été vérifié):

\[\begin{bmatrix} 1& 1&m& 1 \\ 3& 1& - 1& 1 \\ 1& - 2& 2& m \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & - 2 & ( - 1 - 3m) & - 2 \\ 0 & - 3 & (2 - m) & (m - 1) \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1& 1& m& 1 \\ 0&1& \frac{(1 + 3m)}{2}& 1 \\ 0& - 3& (2 - m)& (m - 1) \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1& 1& m& 1 \\ 0&1&\frac{(1 + 3m)}{2}& 1 \\ 0& 0& \frac{7 + 7m}{2}& (m + 2) \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1& 1& m& 1 \\ 0& 1& \frac{(1 + 3m)}{2}& 1 \\ 0& 0& 1& \frac{(2m + 4)}{7 + 7m} \end{bmatrix}\]

• Si $7 + 7m = 0, 7m = - 7, m = - 1$

• Alors le système est incompatible.

• On résout z :

\[\begin{align} &z = \frac{2m + 4}{7 + 7m}\\ \end{align}\]

• On résout y :

\[\begin{align} &y = 1 - \frac{1 + 3m}{2} \cdot \frac{2m + 4}{7 + 7m} \\ &y = 1 - \frac{2m + 4 + 6m^{2} + 12m}{14 + 14m} \\ &y = 1 - \frac{6m^{2} + 14m + 4}{14m + 14} \\ &y = 1 - \frac{3m^{2} + 7m + 2}{7m + 7} \\ &y = \frac{7m + 7 - 3m^{2} - 7m - 2}{7m + 7} \\ &y = \frac{- 3m^{2} + 5}{7m + 7} \\ \end{align}\]

• On résout x :

\[\begin{align} &x = 1 - \frac{- 3m^{2} + 5}{7m + 7} - \frac{m(2m + 4)}{7 + 7m} \\ &x = \frac{7m + 7 + 3m^{2} - 5 - 2m^{2} - 4m}{7m + 7} \\ &x = \frac{m^{2} + 3m + 2}{7m + 7} \\ &x = \frac{(m + 1)(m + 2)}{7(m + 1)} \\ &x = \frac{m + 2}{7} \\ \end{align}\]

• Si $m \neq - 1$ :

\[S = \left\{ \frac{m + 2}{7},\frac{- 3m^{2} + 5}{7m + 7},\frac{2m + 4}{7m + 7}\ \right\}\]

Si $m = - 1$, le système est incompatible.

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