DS2 2018 2019 Correction
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Page 1 : AlgèbreEISTI-Première annéeCorrection DS2-Algèbre-2018Exercice 1100 = 5 × 17 + 15, donc 1002018 15201817. Cherchons un entier k tel que 15k 117.15 217 ⇒ 154 241724 = 16 117⇒158 1217On peut prendre k = 8. Effectuons la division euclidienne de 2018 par 8, on obteint 2018 = 252×8+2.1002018 15201817152018 = 15252×8152158 117⇒1002018 15217Le reste de la dévion euclidienne est alors égale à 4.Exercice 21/Application injective et non surjectivef:E1→E3garçon7→chaisefille7→armoire2/ Application surjective et non injectivef:E3→E1chaise7→garçonarmoire7→filletable7→fille3/ Application ni injective, ni surjectivef:E1→E3garçon7→chaisefille7→chaise4/ Application bijective injective et surjectivef:E1→E2garçon7→lunefille7→soleilExercice 31. f n’est pas injective car 4, 2 ̸= 6, 3 et f4, 2 = f6, 3.2. f n’est pas surjective car2 n’admet pas d’antécédants par f. En effet, supposons qu’il existeun couple m, n Z × Ntel que2 = mn . On a necessairement m N. Il existe a, b deuxentiers premiers entre eux tel que ab = mn =2.L’entier a est pair car 2b2 = a2. Soit p N tel que a = 2p, on a alors b2 = 4p22 = 2p2. L’entier best donc pair , ce qui absurde car a et b sont premiers entre eux.3. fZ × N = Q.4.af11=m, n Z × N mn = 1=m, n Z × N m = n=n, n, n Nbf1q=m, n Z × N mn = q=m, n Z × N m = qn=qn, n n N1/3
Page 2 : AlgèbreEISTI-Première annéecf1Z=m, n Z × N mn Z=m, n Z × N m nZ=m × n, n n N, m Z.Exercice 51. La relation binaire Ra Montrons que R est une relation d’ordre sur R.i. R est réflexive : Soit x, y R2.x x et y y, donc x, yRx, y.ii. R est antisymétrique. Soient x, y, x′, y′ R2. x, yRx′, y′x′, y′Rx, y⇒ x x′ et y y′x′ x et y′ y⇒ x = x′y = y′⇒x, y = x′, y′iii. R est transitive. Soient x, y, x′, y′, x”, y” R2 x, yRx′, y′x′, y′Rx”, y”⇒ x x′ et y y′x′ x” et y′ y”⇒ x x”y y”⇒x, yRx′, y′b La relation R est partiel. En effet, les deux couples 1, 2 et 2, 1 ne sont pas comparablepar R.c On cherche tous les couples x, y tels que 1, 1Rx, y, ce sont les couples qui vérifient :1 x et 1 yIl s’agit d’un quart de plan limité par la demi-droite x = 1 et y 1 demi-droite compriseet à gauche par la demi-droite y = 1 et x 1 demi-droite comprise.2. Relation binaire Sa Montrons que S est une relation d’ordre sur R.i. S est réflexive :x = x et y y donc x, ySx, y.ii. S est antisymétrique : Soient x, y, x′, y′ E2 x, ySx′, y′x′, y′Sx, y⇒ x x′ ou x = x′ et y y′x′ x ou x′ = x et y′ y⇒ x x′x′ xou x x′x′ = x et y′ you x = x′ et y y′x′ xou x = x′ et y y′x′ = x et y′ y⇒ x = x′ et y y′x′ = x et y′ y⇒ x = x′y = y′⇒x, y = x′, y′2/3
Page 3 : AlgèbreEISTI-Première annéeiii. S est transitive : Soient x, y, x′, y′, x”, y” R2 x, ySx′, y′x′, y′Sx”, y”⇒ x x′ ou x = x′ et y y′x′ x” ou x′ = x” et y′ y”⇒ x x′x′ x”ou x x′x′ = x” et y′ y”ou x = x′ et y y′x′ x”ou x = x′ et y y′x′ = x” et y′ y”⇒x x” ou x x” et y′ y” ou x x” et y y′ ou x = x” et y y”⇒x x” ou x = x” et y y” ⇒x, ySx”, y”Finalement S est une relation d’ordre partiel.b Considérons deux couples x, y et x′, y′ de E2. Il y a plusieurs cas :Si x x′ alors x, ySx′, y′.Si x x′ alors x′, y′Sx, y.Si x = x′ et y y′ alors x, ySx′, y′Si x = x′ et y y′ alors x′, y′Sx, ySi x = x′ et y = y′ alors x, y = x′, y′ et x, ySx′, y′.Tous les couples sont comparables, S est une relation d’ordre total.c On cherche tous les couples x, y tels que 1, 1Sx, y, ce sont les couples qui vérifient :1 x ou 1 = x et 1 yIl s’agit d’un quart de plan limité par la demi-droite x 1 et y = 1 demi-droite compriseet à gauche par la demi-droite x = 1 et y 1 demi-droite non comprise.3/3
