DS2 2018 2019 Correction
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Page 1 : karam.fayad@eisti.euCorrigé DS5 Algèbre 05/03/2019Exercice 1 .1. On a V = a · 4, 2, 1, 0 + b · 0, 0, 0, 1, a, b R2 = vect4, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1.Ainsi, V est un sous-espace vectoriel de R4 : c'est le sous-espace vectoriel de R4 engendré par la famille4, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1.Montrons que W est un sous-espace vectoriel de R4 :On a : 0, 0, 0, 0 W.Soit X = x, y, z, t et X′ = x′, y′, z′, t′ deux vecteurs de W et soit λ R. Montrons que λ·X +X′ W.Comme X, X′ W 2, on a x + z = y + t et x′ + z′ = y′ + t′.On a λ · X + X′ = λx + x′, λy + y′, λz + z′, λt + t′ avec :λx + x′ + λz + z′ = λx + z + x′ + z′ = λy + t + y′ + t′ = λy + y′ + λt + t′.Ainsi, λ · X + X′ W.2. Par dénition de V , la famille 4, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1 en est une famille génératrice, de plus, cette familleest libre ; c'est donc une base de V , et dimV = 2.Cherchons une base de W :Soit X = x, y, z, t W, alors x + z = y + t d'où x = y + t z, alorsX = y + t z, y, z, t = y · 1, 1, 0, 0 + z · 1, 0, 1, 0 + t · 1, 0, 0, 1.Ainsi, W vect1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1.Réciproquement, 1, 1, 0, 0 W, 1, 0, 1, 0 W et 1, 0, 0, 1 W, d'oùW = vect1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1.Montrons que la famille 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1 est libre :Soit a, b, c R3 tel que a·1, 1, 0, 0+b·1, 0, 1, 0+c·1, 0, 0, 1 = 0, alors ab+c, a, b, c = 0, 0, 0, 0d'où a = b = c = 0.On déduit que la famille 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1 est une base de W, et dimW = 3.Cherchons une base de V W :Soit X = x, y, z, t V W :• X V ⇒x = 4z et y = 2z• X W ⇒x = y + t zOn obtient ainsi 4z = 2z + t z, d'où t = 3z et X = 4z, 2z, z, 3z = z · 4, 2, 1, 3, on déduit queV W vect4, 2, 1, 3. Réciproquement, 4, 2, 1, 3 V W, ainsi V W = vect4, 2, 1, 3.Le vecteur 4, 2, 1, 3 forme donc une base de V W, et dimV W = 1.3. On a dimV + W = dimV + dimW dimV W = 2 + 3 1 = 4.V W est donc un sous-espace vectoriel de R4, de dimension 4. On en déduit que V + W = R4.Exercice 2 .1. On a clairement 0 G.Soit P, Q G2 et λ R. Montrons que λ · P + Q G.Comme P, Q G2, alors P1 = P ′1 = Q1 = Q′1 = 0, d'où :λ · P + Q1 = λP1 + Q1 = 0 et λ · P + Q′1 = λP ′1 + Q′1 = 0. Ainsi, λ · P + Q G.1
Page 2 : 2. Cherchons une base de G an de calculer la dimension de G :Soit P G, alors P1 = P ′1 = 0, alors 1 est une racine au moins double de P, donc P est divisiblepar X 12. Ainsi, il existe Q RX tel que P = X 12Q, avec degQ 1 car degP 3.Le polynôme Q s'écrit alors a+bX avec a, b R2, d'où P = X 12aX +b = aXX 12+bX 12.On en déduit que G vectXX 12, X 12.Réciproquement, XX 12 G et X 12 G car ces deux polynômes sont divisibles par X 12.,d'oùG = vectXX 12, X 12.De plus, la famille XX 12, X 12 est libre famille de polynômes non nuls de degrés deux à deuxdistincts, c'est donc une base de G et dimG = 2.Montrons maintenant que la famille X 12, X 13 est une base de G :On a clairement X 12 G et X 13 G car ces deux polynômes sont divisibles par X 12.La famille X 12, X 13 est donc une famille libre degrés distincts de deux vecteurs de G, etcomme G est de dimension 2, on en déduit qu'il s'agit d'une base de G.3. Comme F est de dimension 2, il sut de remarquer que la famille 1, X 1 est une famille libre devecteurs F, ce qui est clair degrés distincts.4. Il sut de vérier deux parmi les trois conditions suivantes :• dimF + dimG = dimR3X• F + G = R3X• F G = 0En eet :• On a dimF + dimG = 2 + 2 = 4 = dimR3X.• F + G = vect1, X 1 + vectX 12, X 13 = vect1, X 1, X 12, X 13 = R3Xcar la famille 1, X 1, X 12, X 13 est une famille libre contenant 4 vecteurs dans R3X qui estde dimension 4, elle engendre donc R3X.• Soit P F G, alors il existe a, b, c, d R4 tel que P = a+bX1 et P = cX12+dX13, ainsia+bX 1cX 12dX 13 = 0, d'où a = b = c = d = 0 car la famille 1, X 1, X 12, X 13est libre. On en déduit que P = 0.5. a On cherche a, b, c, d R4 tel que P = a + bX 1 + cX 12 + dX 13, d'où1 + X + X2 + X3 = a b + c d + b 2c + 3dX + c 3dX2 + dX3.D'où le systèmed = 1c 3d = 1b 2c + 3d = 1a b + c d = 1⇔d = 1c = 4b = 6a = 4On déduit que1 + X + X2 + X3 = 4 + 6X 1 + 4X 12 + X 13.b De la question précédente, on déduit directement que P = P1 + P2 avec :• P1 = 4 + 6X 1 F• P2 = 4X 12 + X 13 G.Exercice 3 .1. Il faut que rgF + rgF ′ 3.On prend par exemple F la famille formée par le vecteur 1, 0, 0 et F ′ la famille formée par le vecteur0, 1, 0.On a clairement vectF vectF ′ = 0 mais vectF + vectF ′ = vect1, 0, 0, 0, 1, 0 ̸= R3.2
Page 3 : 2. Il faut que vectF vectF ′ ̸= 0.On prend par exemple F = 1, 0, 0, 0, 1, 0 et F ′ = 0, 1, 0, 0, 0, 1.On a vectF+vectF ′ = vect1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 = R3 mais vectFvectF ′ = vect0, 1, 0.3. On prend F = 1, 0, 0, 0, 1, 0 et F ′ = 0, 0, 1.On a dimvectF + dimvectF ′ = rgF + rgF ′ = 2 + 1 = 3 = dimR3 et vectF + vectF ′ =vect1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 = R3, ainsi vectF et vectF ′ sont supplémentaires dans R3.Exercice 4 .1. a On a F G = vectu1, · · · , um + vectv1, · · · , vn = vectu1, · · · , um, v1, · · · , vn, ainsi, la familleu1, · · · , um, v1, · · · , vn engendre F G.Montrons que cette famille est libre :Soit λ1, · · · , λm, µ1, · · · , µn Km+n tel que λ1u1 + · · · + λmum + µ1v1 + · · · + µnvn = 0. On a alorsλ1u1 + · · · + λmumzF= µ1v1 + · · · + µnvnzGF G = 0.On en déduit que λ1u1 + · · · + λmum = 0 et µ1v1 + · · · + µnvn = 0 ; comme les familles u1, · · · , umet v1, · · · , vn sont libres, on déduit que λ1 = · · · = λm = µ1 = · · · = µn = 0.Ainsi, la famille u1, · · · , um, v1, · · · , vn est libre. C'est donc une base de F G.b Dans la question précédente, on a trouvé une base de F G contenant m+n vecteurs. On déduit quedimF G = m + n = dimF + dimG.C'est la formule de Grassmann dans le cas où F et G sont en somme directe car F G = 0.2. a On a : F = F G H, d'oùdimF = dimF G H = dimF G + dimHcar F G et H sont en somme directe on peut donc appliquer le résultat de la question 1.b Comme G est un sous-espace vectoriel de E, et G F + G, alors G est un sous-espace vectoriel deF + G.Comme H est un sous-espace vectoriel de F, et H F F + G, alors H est un sous-espace vectorielde F + G.c Montrons que G H = 0.Soit x G H. Comme H F, alors x F, ainsi, x H et x F G, or H et F G sont ensomme directe, d'où x = 0.Ou : comme H F, alors G H F G H = 0. Ainsi, G H = 0.d G et H étant des sous-espaces vectoriels de F + G, on a : G + H F + G.Réciproquement, montrons que F + G G + H.Soit x F + G, alors il existe y, z F × G tel que x = y + z.Or F = F G + H ; comme y F, alors il existe t, u F G × H tel que y = t + u.Ainsi x = z + t + u avec z G, t F G G et u H. D'oùx = z + tzG+ uzHG + H.e Des deux questions précédentes, on déduit que G et H sont supplémentaires dans F + G, autrementdit : F + G = G H.f Comme G et H sont en somme directe, d'après la question 1, on a dimG H = dimG + dimH.D'autre part, d'après la question 2a, on a dimH = dimF dimF G.Ainsi,dimF + G = dimG H= dimG + dimH= dimG + dimF dimF G3
