DS2 2018 2019
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 2Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 16 novembre 2018Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 2 pointsDéterminer le reste de la division euclidienne de 1002018 par 17.Exercice 2. 2 pointsSoit E1 = garçon,fille, E2 = lune,soleil et E3 = chaise,table,armoire. Dans chacun des cas suivants,donner deux ensembles distincts Ei et E j parmi E1,E2 et E3, et construire une application f : Ei →E j quisoit :1. injective et non surjective.2. surjective et non injective.3. ni injective, ni surjective.4. bijective.Exercice 3. 4.5 pointsSoit f l’application définie sur Z × Npar :f :Z × N→Rm,n7→f m,n = mn1. L’application f est-elle injective ? Répondre en justifiant.2. L’application f est-elle surjective ? Répondre en justifiant.3. Déterminer l’image f Z × N.4.a Déterminer f 11.b Soit q Z. Déterminer f 1q.c Déterminer f 1Z.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 5 pointsSoit E et F deux ensembles non vides, E1 un sous-ensemble non vide de E tel que E1 ̸= E , et F1 un sous-ensemble non vide de F tel que F1 ̸= F .On note E2 = E E1 et F2 = F F1. Soit f1 : E1 →F1 et f2 : E2 →F2 deux applications.On définit alors l’applicationf :E→Fx7→f x =¨f1xsi x E1f2xsi x E21. Montrer que si x1, x2 E1 × E2, alors f x1 ̸= f x2.2. Montrer que f est injective si et seulement si f1 et f2 sont injectives.3. Montrer que f est surjective si et seulement si f1 et f2 sont surjectives.Exercice 5. 6.5 points1. On considère sur R2 la relation binaire R définie par :x, y, x ′, y ′ R4, x, y Rx ′, y ′ ⇔x x ′ et y y ′.a Montrer que R est une relation d’ordre sur R2.b Montrer que l’ordre R est partiel.c Représenter graphiquement, en justifiant, l’ensemble des majorants de 1,1 pour l’ordre R.2. On considère sur R2 la relation binaire S définie par :x, y, x ′, y ′ R4, x, y Sx ′, y ′ ⇔x x ′ ou x = x ′ et y y ′.a Montrer que S est une relation d’ordre sur R2.b Montrer que l’ordre S est total.c Représenter graphiquement, en justifiant, l’ensemble des majorants de 1,1 pour l’ordre S.- 2 / 2 -
