DS2 2018 2019
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 5Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 5 avril 2019Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 7.5 pointsSoit V = 4a,2a,a,b , a,b R2 et W = x, y,z,t R4, x + z = y + t .1. Montrer que V et W sont des espaces vectoriels.2. Donner une base et la dimension de V , W et V W .3. Montrer que R4 = V + W .Exercice 2. 6 pointsDans R3X , on note G = P R3X , P 1 = P ′1 = 0, et on note F = R1X .1. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R3X .2. Montrer que G est de dimension 2 et que la famille X 12,X 13 en est une base.3. Montrer que la famille 1,X 1 est une base de F .4. Montrer que F et G sont supplémentaires dans R3X .5. Soit le vecteur P = 1 + X + X 2 + X 3.a Calculer les coordonnées de P dans la base 1,X 1,X 12,X 13 de R3X .b En déduire la décomposition de P sur F +G .Exercice 3. 3 pointsEn justifiant vos choix, donner dans chacun des cas suivants deux familles de vecteurs F et F ′ dans R3telles que :1. vectF et vectF ′ sont en somme directe et ne sont pas supplémentaires dans R3.2. vectF + vectF ′ = R3 et vectF et vectF ′ ne sont pas supplémentaires dans R3.3. vectF et vectF ′ sont supplémentaires dans R3.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 6 pointsSoit E un K-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E , de dimension finie. On proposede montrer la formule suivante, dite formule de Grassmann :dimF +G = dimF + dimG dimF G .1. Cas particulier : on suppose dans cette question que F et G sont en somme directe.Soit m = dimF et n = dimG . On note u1,··· ,um une base de F et v1,··· ,vn une base de G .a Montrer que la famille u1,··· ,um,v1,··· ,vn est une base de F G .b En déduire la dimension de F G et la formule de Grassmann dans ce cas.2. Cas général :F G étant un sous-espace vectoriel de F , on note H un supplémentaire de F G dans F .a Donner la relation entre dimF , dimH et dimF G .b Justifier que G et H sont des sous-espaces vectoriels de F +G .c Montrer que G et H sont en somme directe.d Montrer que F +G = G + H .e En déduire que G et H sont supplémentaires dans F +G .f Conclure.- 2 / 2 -
