DS2 2019 2020
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 2Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel Masereel, Richard NuadiMatière : AlgèbreDate : Vendredi 6 décembre 2019Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 3 pointsOn considère :- trois ensembles non vides E ,F et G- deux applications f : E →F et g : F →G- une partie B de FParmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies c.-à-d. vraies dans le cas général et lesquelles sontfausses? Justifier en donnant une preuve si la proposition est vraie et un contre-exemple si elle est fausse.1. g ◦f est injective ⇒g est injective.2. g ◦f est surjective ⇒g est surjective.3. B = f f 1B.Exercice 2. 3 pointsOn désigne par E : R →R la fonction partie entière. Déterminer, en justifiant, les ensembles suivants :1. E R2. E Q3. E 1p2,p24. E 1r où r est un réel donné.Exercice 3. 6 points1. Sans utiliser la forme exponentielle :a Trouver, sous forme algébrique, les racines carrées de 2 + 2ip3.b Trouver, sous forme algébrique, les solutions de l’équation z 4 = 2 + 2ip3.2. En utilisant la forme exponentielle, trouver les racines quatrièmes de 2 + 2ip3.3. En déduire quecos π12=p2 +p3aetsin π12=p2 p3aoù a est un réel qu’on déterminera.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 5 pointsSoit z0 = e iθ0 un nombre complexe avec θ0 π,π0. On pose, pour n N,zn+1 = zn + zn2.On écrit sous forme exponentielle zn = rne iθn avec rn = zn et θn π,π.1. Montrer que zn+1 = rncosθn2e iθn/2.2. Exprimer rn+1 et θn+1 en fonction de rn et θn, puis préciser la nature de la suite θnnN.3. Montrer par récurrence que pour tout n 1,rn =nYk=1cos θ02k.4. On pose yn = Imzn, où Im désigne la partie imaginaire. Montrer que yn+1 = yn2 .5. En déduire que pour n 1,nYk=1cos θ02k=sinθ02nsin θ02n.Exercice 5. 6 pointsSoit f la fonction définie sur R parf :R→Rx7→minx 2, x 31. Tracer dans le même repère, avec deux couleurs différentes, l’allure du graphe des fonctions x 7→x 2et x 7→x 3. En déduire l’allure du graphe de f .2. Montrer que f est bijective.On ne se contentera pas d’une interprétation graphique.3. On considère la fonction g définie sur R parg :R→Rx7→¨3pxsi x 1pxsi x 1a Déterminer les applications f ◦g et g ◦f .b Que peut-on en déduire?- 2 / 2 -
