DS2 2019 2020
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 5Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 24 avril 2020Durée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte six exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 6 pointsOn munit R2 de la loi de composition interne notée et définie de la manière suivante :x1, y1 x2, y2 = x1 + x2, y1 + y2 + 6x1x2.D’autre part, pour λ R et x, y R2, on poseλ x, y = λx,λy + 3λ2 λx 2.R2, est-il un R-espace vectoriel? Justifier votre réponse.Exercice 2. 5 pointsOn considère l’ensembleE = P R3X , P 1 = P 2 = 0.1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R3X .2. Trouver une base et la dimension de E .3. Montrer que R3X = E vect1 + X ,X 2.Exercice 3. 5 points1. Dans R3, on considère les vecteursu = 4,3,2, v = 0,1,6, w = 2,2,2, t = 1,0,5.a La famille u,v,w,t est-elle libre? Justifier.b La famille u,v,w,t engendre-t-elle R3 ? Justifier.2. Dans R2X , on considère les polynômesP = 2 + X + 2X 2, Q = 1 4X 2X 2, R = 1 X 3X 2.a Montrer que la famille P,Q,R est une base de R2X .b Trouver les coordonnées du polynôme 1 + X + X 2 dans la base P,Q,R.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 4 pointsSoit E et F les sous-espaces vectoriels de R4 donnés par :E = x, y,z,t R4, y + z + t = x + 2y + t = 0,F = x, y,z,t R4, y z = y + 3z + t = 0.Déterminer, en justifiant rigoureusement, la dimension de E + F .Exercice 5. 6 pointsDans R3, on considère les trois vecteursu = 1,1,5,v = 4,1,8,w = 1,3,11.1. Les vecteurs u,v et w sont-ils linéairement indépendants? Justifier.2. Trouver la dimension de vectu,v,w.3. Soit W = x, y,z R3, x + 4y z = 0.a Montrer que W est un sous-espace vectoriel de R3.b Montrer que W = vectu,v,w.c Donner deux bases différentes de W .d Donner un supplémentaire de W dans R3.Exercice 6. 4 pointsDans chacun des cas suivants, dire si l’ensemble donné est un sous-espace vectoriel d’un espace vectorielconnu. Si oui, en donner une base et la dimension.1. E = x, y,z R3, x + 2y z = 12. F = f : R →R définie par f x = a xsinx + b x, a,b R23. G = f : R →R, f 0 = 3- 2 / 2 -
