DS2 2020 2021 V1
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 5N.Arancibia, M. Bahtiti, K. Guezguez, A. Hajej, B.Laquerriere, J-M MasereelMatière : AlgèbreDate : Mercredi 29 avril 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 h 30 minNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 2.5 points1. Soient E un K-espace vectoriel, n N et A = a1,...,an une famille d’éléments de E . Quand dit-onque la famille A est libre?2. Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces de E . Quand dit-on que F et G sont ensomme directe dans E ?3. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E →F une application linéaire. On suppose que E estde dimension finie. Enoncer le théorème du rang et montrer que si dimE = dimF , l’injectivité de féquivaut à la surjectivité de f .Exercice 2. 3 pointsOn rappelle que R3X est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à3.1. Donner une base et la dimension de R3X .2. Montrer que la famille B = X 3 + 1,X 3 1,X 2 + X ,X 2 X est une base de R3X .3. Calculer les coordonnées du polynôme X 3 + 2X + 1 dans la base B.Exercice 3. 7 pointsSoit E le sous-espace vectoriel de R4 défini par :E = x, y,z,t R4 x + y + z t = 0 et 2y + z + t = 01. Déterminer une base et la dimension de E .2. Soit F le sous-espace vectoriel de R 4 engendré paru1 = 1,2,1,1,u2 = 2,1,1,1 et u3 = 0,5,3,1.Déterminer une base et la dimension de F .3. Déterminer un système d’équations de F .4. Déterminer une base et la dimension de E F .5. Déduire de ce qui précède la dimension de E + F .6. Déterminer une base de E + F .- 1 / 2 -
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