DS2 2020 2021 V2
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir maisonM. Bahtiti, K. Guezguez, A. Hajej, B. Laquerriere, J.-M. MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 9 avril 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 15 joursNombre de pages : 5Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte deux exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. Soit f1 l’application définie par :f1 :R4→Rx ; y ;z ;t7→5x 2y + z + 4tet f l’application définie par :f :R4→R5x ; y ;z ;t7→f1x, y,z,t ; 5x + y + 2z + 3t ; x + 2y + z ; 4x y + z + 3t ; 3y + z t1. Montrer que f1 est une application linéaire.On admet par la suite que f est une application linéaire.2.a Déterminer une base du noyau de f .b Déterminer les dimension du noyau et de l’image de f .c Déterminer l’image de f .3. L’application f est-elle injective? surjective? bijective?4. Soit F =a;b;c ;d ;e R5 / a = 5c 4e et b = 5c 3e et d = 4c 3ea Montrer que F est un espace vectoriel.b Montrer que Imf = F .5.a Compléter la base trouvée en 2.a en une base de R4.b En déduire un supplémentaire du noyau.6. Soit H = Vect0;0;1;0;0;0;0;1.a Montrer que R4 = Kerf H .b Montrer que ϕ0;0;1;0 = 5;0;3;3;5 et ϕ0;0;0;1 = 0;5;4;1;5 suffit à définir/déterminerune application linéaire ϕ de H dans Imf .c Donner une définition de ϕ avec des équations. / ou car pas fait en TD / Montrer queϕ :H→Imf 0;0;z;t 7→5z ;5t ;4t 3z ;3z + t ;5t 5z- 1 / 5 -
Page 2 : d L’application ϕ est-elle injective? surjective? bijective?e Montrer que Imf est isomorphe à un supplémentaire de Kerf .1. 1 points. On montre aisément que f1u + λv = f u + λf v.2.a 1 points. fx ; y ;z ;t= 0;0;0;0;0 ⇔x + 2y + z=03y + z t=0 après réduction du système.Donc Kerf = Vect2103;1011. Cette famille est génératrice et comme elle est librevecteurs non colinéaires c’est une base.b 0.5 points. Le noyau est donc de dimension 2. L’image est alors, d’après le théorème durang, de dimension 4-2=2.c 1 points. Nous savons que Imf = Vectf e1; f e2; f e3; f e4. La dimension étant 2,il suffit donc de prendre 2 vecteurs non colinéaires dans cette famille pour avoir une base.f e1 =55140et f e2 =21213. Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires, ils forment unebase de l’image de f etImf = Vect55140;212133. 0.5 points. L’application ne peut pas être surjective puisque l’on va d’un espace de dimension4 à un espace de dimension 5. Elle n’est pas injective puisque le noyau n’est pas réduit au vecteurnul. Elle n’est donc pas non plus bijective.4. 1 points.a Nous avons :— F R5 par définition.— 0;0;0;0;0 F .— On montre, en rédigeant correctement que f est stable par combinaison linéaire.Donc F est bien un sous-espace vectoriel de R5.b 1.5 points. Plusieurs méthodes de la plus calculatoire à la moins calculatoire, ou de lamoins bonne maîtrise du cours à la meilleure maîtrise :— On cherche une base de F à partir de ses équations et on montre que chacune est combi-naison linéaire de l’autre.— On constate que55140et21213sont dans F . Nous pouvons donc affirmer par stabilitéde F que Imf F . Il reste donc à montrer l’inclusion réciproque. Pour cela, on peut- 2 / 5 -
Page 3 : chercher une base de F comme au point précédent et on montre que les vecteurs decette base sont combinaisons linéaires de celle de Imf .— Toujours en partant de la constatation précédente Imf F , on remarque que la di-mension de F est égale au nombres d’inconnues moins le rang du système, c’est-à-dire5 3 = 2. D’où l’égalité sans faire un seul calcul de base.5.a 1.5 points. D’après le théorème de la base incomplète, on peut compléter la famille libreavec les vecteurs de la base canonique. On constate que les deux premiers conviennent :2103;1011;est une famille libre :2λ1 λ2 + λ3=0λ1 + λ4=0λ2=03λ2 + λ3=0⇔λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0Il semblerait que n’importe quelle paire de vecteurs canoniques fonctionne.b 0.5 points. Donc un supplémentaire du noyau est tout simplement Vect1000;0100.6.a 1 points. De la même manière, comme dit dans la question précédente, la famille2103;1011;0010;0001est libre. Elle forme donc une base de R4, constituée d’une base de Kerf et de H . Donc H etKerf sont donc bien supplémentaires.b 0.5+0.5 points. Nous savons qu’une application linéaire est entièrement déterminée parl’image d’une base. Nous avons ici l’image de la base de H , donc l’application linéaire ϕ estentièrement déterminée unique. On constate de plus que ces deux vecteurs images vérifientles équations de F = Imf . Donc ϕ est bien à valeur dans Imf .c 0.5 points. Soit u = 0;0;z;t H , alors ϕu = zϕ0,0,1,0 + t ϕ0,0,0,1 = z50335+t05415=5z5t4t 3z3z + t5t 5z- 3 / 5 -
Page 4 : d 0.5 points. L’image de la base de H étant une base de Imf , on en déduit que l’applicationest bijective théorème de cours. Ou alors on montre qu’elle est injective en calculant sonnoyau, et comme les espaces de départ et d’arrivée sont de dimension 2, c’est bijectif.Exercice 2. On note Bc = e1 ;e2 ;e3 la base canonique de R3.1. Soit u1 =011, u2 =110et u3 =111.a Montrer que la famille B = u1 ;u2 ;u3 est une base de R3.b Soit u =x ; y ;zdans la base canonique. Déterminer les coordonnées de u dans la base B.c Soit v = a ;b ;c dans la base B. Déterminer les coordonnées de v dans la base canonique.2. Soit F =xyz/ x + y z = 0.a Déterminer une base de F .b Soit G = Vectu3. Montrer que F et G sont supplémentaires dans R3.3.a Montrer que ϕ1,0,0 =011, ϕ0,1,0 =101et ϕ0,0,1 =112suffit à définir uneapplication linéaire de R3 dans R3.b Déterminer ϕx, y,z, pourx ; y ;zR3.c Déterminer le noyau et l’image de ϕ.d L’application ϕ est-elle injective? surjective? bijective?e Déterminer ϕu1, ϕu2 et ϕu3.f Soit v = a ;b ;c dans la base B. Déterminer ϕv dans cette même base.g Déterminer ϕ ◦ϕx, y,z.Remarque : On dit que ϕ est la projection de R3 sur F parallèlement à G .4. Soit l’application linéaire s définie par s1,0,0 =122, s0,1,0 =212et s0,0,1 =223.Reprendre toutes les questions de la question précédente, avec s.Remarque : On dit que s est la symétrie de R3 par rapport à F parallèlement à G .1.a Nous avons trois vecteurs dans R3, donc il suffit de montrer qu’elle est libre.b Nous avonsu1=e2 + e3u2=e1 e2u3=e1 + e2 + e3D’oùe1=u3 u1e2=u3 u2 u1e3=2u1 + u2 u3Ainsi, u = xe1 + y e2 + ze3 = 2z x y u1 + z y u2 + x + y zu3. Les coordonnées de udans la base B sont donc2z x y ;z y ; x + y z.- 4 / 5 -
Page 5 : c De même, v = a u1 + b u2 + c u3 = b + c e1 + a b + c e2 + a + c e3. Les coordonnées de vdans la base canonique sont donc b + c ;a b + c ;a + c .2.a En résolvant le système à une équation, on montre que F = Vect011;110= Vectu1;u2base de F .b L’union des bases de F et de G forment une base de R3. Donc R3 = F G .3.a Une application linéaire est entièrement déterminer par l’image d’une base.b ϕx, y,z =z yz x2z x yc Kerϕ = G et Imϕ = F .d L’application n’est ni injective ni surjective donc pas bijective.e ϕu1 = u1, ϕu2 = u2 et ϕu3 =000.f ϕv = aϕu1 + b ϕu2 + c ϕu3 = a u1 + b u2. Donc les coordonnées de ϕv dans la base Bsont a ;b ;0.g ϕ ◦ϕ = ϕ.4.a Une application linéaire est entièrement déterminer par l’image d’une base.b sx, y,z =x 2y + 2z2x y + 2z2x 2y + 3zc Kers = ⃗0 et Ims = R3.d L’application est bijective.e su1 = u1, su2 = u2 et su3 = u3.f sv = a su1+ b su2+ c su3 = a u1 + b u2 c u3. Donc les coordonnées de sv dans la baseB sont a ;b ;c .g s ◦s = I dR3.- 5 / 5 -
