DS2 2020 2021
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Page 1 : Exercice 1. Soit f : R \ 3 →R définie parfx = 4 +3x + 3.1. Déterminer 2 pointsf4, 3 3, 1,f 14, 5etf 142. L’application f est-elle surjective ? Est-elle injective ? 1.5 points3. Déterminer des ensembles E et F tels que f soit une bijection de E sur F. 0.5 points4. Déterminer la réciproque de f sur ces ensembles. 1.0 pointsSolution :1. Nous avonsf4, 3 3, 1= , 1 112 , +f 14, 5=0, +f 14=2.• Injective : Nous avonsfx = fy=⇒4 +3x + 3 = 4 +3y + 3=⇒3x + 3 =3y + 3=⇒y + 3 = x + 3=⇒x = y.• Surjective : Non, car 4 n’a pas des antécédents.3. E = R \ 3 et F = R \ 4.4. Pour tout y R \ 4 nous avonsy = fx⇐⇒y = 4 +3x + 3⇐⇒x + 3 =3y 4⇐⇒x =3y 4 3.Ceci implique quef 1 : R \ 3→R \ 4x7→3x 4 3Exercice 2. Soit f : E →F et g : F →G deux applications.1. Montrer que si f et g sont injectives alors g ◦f est injective. 1 point2. Montrer que si f et g sont surjectives alors g ◦f est surjective. 1 point3. En déduire que si f et g sont bijectives alors g ◦f est bijective. 1 pointSolution :1. Soient x, y E. Supposons g ◦fx = g ◦fy. Nous voulons montrer que : x = y. Orgfx = gfy=⇒zg injectivefx = fy=⇒zf injectivex = y.2. Soit y G. Nous voulons montrer qu’il existe x E tel que y = g ◦fx. Or g est surjective,donc il exist t F tel que y = gt. Mais f est aussi surjective, donc : t = fx pour un certainx E. Finalement, comme voulu :y = gt = gfx = g ◦fx.1
Page 2 : 3. Si f est bijective, alors f est injective et surjective. Le même peut être dit pour g. La propositionest donc une conséquence directe des points 1 et 2.Exercice 3. Soitu = 1 + ietv = 1 + i31. Déterminer les modules de u et v. 0.5 points2. Déterminer un argument de u et un argument de v. 1 point3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de u. 1.5 points4. Déterminer le module et un argument de uv . 1 point5. En déduire les valeurs de 1 pointcos5π12etsin5π12Solution :1. u =12 + 12 =2 et v =q12 +32 = 2.2. Nous avonsu =222 + i22=2ei π4 .Donc un argument de u est π4 .v = 212 + i32= 2ei 2π3 .Donc un argument de v est 2π3 .3. On cherche les solutions complexes de z3 = u. En écrivant z sous forme trigonometrique z = reiθon obtientz3 = u ⇐⇒r3e3iθ =2ei π4 ⇐⇒r3 =2 et 3θ = π4 + 2kπ, k Z⇐⇒r = 216et θ = π12 + 2kπ3 , k = 0, 1, 2.Les racines cubiques de u sont doncζ0 = 216 eiπ12;ζ1 = 216 ei π12 + 2π3 = 216 e3iπ4;ζ2 = 216 ei π12 + 4π3 = 216 e17iπ12 = 216 e7iπ124. Nous avonsuv =2ei π42ei 2π3=22 ei π4 2π3 =22 e5iπ12 .Donc uv =2/2 et un argument de uv = 5π12 .5. D’après la question précédente, nous avonsuv =22cos5π12+ i sin5π12.De mêmeuv =1 + i1 + i3 = 1 + i1 + i34= 1 +34+ i1 34.L’unicité de la forme algébrique de uv permet d’en déduire par identification :22 cos5π12= 1 +34=⇒cos5π12= 1 +322= 2 +6422 sin5π12= 1 34=⇒sin5π12= 1 322= 2 64.2
Page 3 : Exercice 4. Résoudre dans C l’équation suivante 3 points41 + iz2 + z4 + 8i 3 5i = 0.Solution : Nous avons= 4 + 8i2 161 + i3 5i = 48 + 64i 32 128i = 80 + 192i = 165 + 12iMaintenant, pour trouver les racines carrées de 5 + 12i on computez2 = 5 + 12i⇐⇒x2 + y2=p52 + 122x2 y2=52xy=12⇐⇒x2 + y2=13x2 y2=5xy=6⇐⇒x2=4y2=9xy=6⇐⇒ x=2y=3ou x=2y=3Ainsi, les racines carées de 165 + 12i sont ±42 + 3i 2 points. D’où on conclut que les solutions del’equation sont 1 pointζ1=4 + 8i + 42 + 3i81 + i= 41 + i81 + i = 12ζ2=4 + 8i 42 + 3i81 + i= 3 + 5i21 + i = 3 + 5i2 2i8= 16 4i8= 2 12iExercice 5. Soient E et F deux ensembles et f : E →F une application. On définit une relationbinaire R sur E en posant pour tout x, x′ E :xRx′⇐⇒fx = fx′.1. Montrer que R est une relation d’équivalence. 1 point2. Pour tout x E, décrire la classe d’équivalence x de x. 1 point3. Notons par E/R l’ensemble des classes d’équivalence de R c.-à-d. E/R = x : x E. SurE/R on définit l’application f parx 7→fx.a Montrer que f est injective. 0.5 pointsb Montrer Imf = Imf. 1 pointc En déduire qu’il existe une bijection de E/R dans l’image de f. 0.5 pointsSolution :1.• Réflexive : Soit x E. Alors fx = fx, donc xRx.• Symetrique : Soit x, y E. Supposons xRy, alorsfx = fy=⇒fy = fx=⇒yRx.• Transitive : Soit x, y, z E. Supposons xRy et yRz, alorsfx = fy et fy = fz=⇒fx = fz=⇒xRz.2. Soit x E. Alorsx = y E : xRy= y E : fx = fy= f 1fx.3.a Soit x, y E/R. Supposons, fx = fy, alorsfx = fy=⇒fx = fy=⇒y x=⇒x = y.3
Page 4 : b Nous avonsImf = fE = f xEx!=xEfx =xEfx = fx : x E \ R = Imf.c Puisque f est injective et toute fonction est surjective sur son image, on conclut quef : E \ R →Imf = Imf,définit une bijection.4
