DS2 2020 2021
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeContrôle continuPréIng 1Matière : Mathématiques - AnalyseDate : Jeudi 20 mai 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 h 30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.L’ordre dans lequel les exercices sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 : -1. Déterminer un équivalent simple de la suite : un = lnn3 + nn + 4.2. Déterminer un équivalent simple de la fonction f x = sinπxpx, au voisinage de a = 1.3. Montrer la relation d’équivalence suivante au voisinage de 0 : x + 1xe0x xExercice 2 : -Calculer les développements limités des fonctions suivantes :1. g1x = ln1 + 2x3p1 x à l’ordre 2 au voisinage de 0.2. g2x =pcosx1 3xà l’ordre 2 au voisinage de 0.3. g3x = xe x à l’ordre 3 au voisinage de 1.Exercice 3 : -On considère la fonction f , définie sur I = 1,+, par :f x = x + ln1 + x.1. Montrer que f réalise une bijection de I vers R.2. Déterminer le D L20 de f , et montrer que f 1, réciproque de f , possède également un D L20.- 1 / 2 -
Page 2 : 3. Le D L20 de f 1 sera noté : f 1x =0 a0 + a1x + a2x 2 + ox 2.Justifier que l’on a forcément : a0 = 0.4. A l’aide de l’égalité : f ◦f 1x = x et de l’unicité des D L montrer que a1 = 12 et a2 = 116.5. En déduire l’équation de la tangente à f 1 en 0 et la position de la courbe par rapport à cettetangente.Exercice 4 : -Calculer les intégrales suivantes :1. I1 =Z 103x 22px 3 + 1d x.2. I2 =Z 21x 2 1x + 3 d x.Indication : Penser à une décomposition en éléments simples.3. I3 =Z 106xe 3x2 d x.- 2 / 2 -
