DS2 2021 2022 V2
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Page 1 : Corrigé DM 2Exercice 1 :Déterminer, si elle existe, la limite de chacune des suites suivantes. Sinon, justifier pourquoi il n'y a pas de limite.1. a = n -n2n - 3n + 1422. b =ne+ 2e + 12nnn3. c =nsin n 𝜋324. . d =n3 -nsin2Correction :1. a ==nn -n +n +2n - 3n + 1422n - 3n + 1422n - 3n + 142n - n - 3n + 1n +4422n - 3n + 142a ===n3n - 1n1 +221 -+3n21n4n3 -n1 +21n221 -+3n21n43 -1 +1n21 -+3n21n4Le numérateur tend vers et le dénominateur vers 31 + 1 = 2Conclusion : a =limn+→n322. b =====ne+ 2e + 12nnne+ 2e + 12 nnne1 +e1 +2 n2en2 nn1enee2 nn1 +1 + e2e2n-nee2 n 1 +1 + e2e2n-nn
Page 2 : b = enn1 +1 + e2e2n-n et e= + limn+→n= 1 ⟹b = + limn+→1 +1 + e2e2n-nlimn+→n3. c =nsin n 𝜋32Considérons les suites extraites suivantes : et .c6nc6n+1• c===12n 𝜋= cste = 06nsin6n𝜋32sin 36n 𝜋32sin2Donc .c= 0limn+→6n• c===12n + 4n 𝜋+6n+1sin6n + 1𝜋32sin36n + 12n + 1 𝜋32sin2𝜋3c== cste =6n+1sin 𝜋323Donc .c=limn+→6n23La suite possède deux suites extraites qui ont des limites différentes, donc elle n'a pas de cnlimite.4.. d =n3 -nsin2-1 ⩽n⩽1 ⟹ 2 ⩽3 -n⩽4 ⟹⩽⩽sin2sin223 -nsin24 et = 2= e21n2nln= 0 ⟹= e = 1limn+→2nlnlimn+→20Même chose pour . Le théorème des gendarmes permet alors de conclure = 4= e41n4nln: d = 1limn+→nExercice 2 :nnnnnnn
Page 3 : Montrer, en revenant à la définition de la limite, que : 1. , pour u =limn+→n23u =.n1 - 2n2 - 3n2. , pour .v = + limn+→nv = 3n + 5nlnIl vous est demandé de déterminer le rang à partir duquel on , ou bien Nu - ℓ 𝜖nu Anou bien encore pour un , un ou un fixés.u Bn𝜖 0A 0B 0Correction :1.u =⟺𝜖 0, N N, n ⩾N, u - 𝜖limn+→n23n23Soit fixé. Peut-on trouver un rang à partir duquel on a : ??𝜖 0Nu - 𝜖n23u - 𝜖 ⟺- 𝜖 ⟺ 𝜖 n231 - 2n2 - 3n233 1 - 2n - 2 2 - 3n3 2 - 3nu - 𝜖 ⟺ 𝜖 ⟺ 𝜖n23-13 2 - 3n13 3n - 2u - 𝜖 ⟺ 3 3n - 2 ⟺ 9n + 6 ⟺n +n231𝜖1𝜖19𝜖69Il suffit donc de prendre , pour avoir : N = E++ 119𝜖23n ⩾N, u - 𝜖n232. v = + ⟺A 0, N N, n ⩾N, v Alimn+→nnSoit fixé. Peut-on trouver un rang à partir duquel on a : ??A 0Nv Anv A ⟺ 3n + 5 A ⟺n + 5 ⟺ n + 5 enlnlnA3A3v A ⟺n e- 5nA3Il suffit donc de prendre , pour avoir : N = E e- 5 + 1A3n ⩾N, v AnExercice 3 :Soit une suite réelle. unnNOn suppose que les 3 suites extraites , et possèdent la u3nnNu3n+1nNu3n+2nNmême limite réelle .ℓOn veut montrer que . Pour cela fixons un nombre .u = ℓlimn+→n𝜖 0
Page 4 : 1. Justifer qu'il existe un entier N N, n ⩾N , u- ℓ 𝜖113n2. Justifier qu'il existe de même et qui réalisent la même condition pour et N2N3u3n+1.u3n+23. On pose . N = Max 3N ; 3N + 1 ; 3N + 2123Montrer que : et conclure.n ⩾N, u - ℓ 𝜖nCorrection :1.u= ℓ ⟺𝜖 0, N N, n ⩾N, u- ℓ 𝜖limn+→3n3nUne fois fixé, la définition précédente nous garantit l'existence d'un entier 𝜖 0N N, n ⩾N , u- ℓ 𝜖113n2.Une fois fixé, 𝜖 0u= ℓ ⟹limn+→3n+1N N, n ⩾N , u- ℓ 𝜖223n+1De même : .u= ℓ ⟹limn+→3n+2N N, n ⩾N , u- ℓ 𝜖333n+23. On pose .N = Max 3N ; 3N + 1 ; 3N + 2123Soit un entier supérieur ou égal à . Selon le reste de la division euclidienne de par , nNn3nous avons 3 cas : • reste avec Dans ce cas : = 0 ⟹n = 3kk N.n ⩾N ⟹n = 3k ⩾3N⟹k ⩾N⟹u- ℓ 𝜖 ⟹u - ℓ 𝜖113kn• reste avec Dans ce cas : = 1 ⟹n = 3k + 1k N.n ⩾N ⟹n = 3k + 1 ⩾3N + 1 ⟹k ⩾N⟹u- ℓ 𝜖 ⟹u - ℓ 𝜖223k+1n• reste avec Dans ce cas : = 2 ⟹n = 3k + 2k N.n ⩾N ⟹n = 3k + 2 ⩾3N + 2 ⟹k ⩾N⟹u- ℓ 𝜖 ⟹u - ℓ 𝜖333k+2nDans les 3 cas, on a le même résultat : n ⩾N ⟹u - ℓ 𝜖nOn peut donc toujours trouver un rang à partir duquel on a : Nu - ℓ 𝜖nDonc 𝜖 0, N N, n ⩾N, u- ℓ 𝜖 ⟺3nu = ℓlimn+→nExercice 4 :On pose et x =nnk=01k2y = x +.nn1nMontrer que ces suites sont adjacentes et conclure.Correction :
Page 5 : a x- x =-= 0n+1nn+1k=01k2nk=01k21n + 12La suite est croissante.xny- y = x+- x += x- x +-=+-n+1nn+11n + 1n1nn+1n1n + 11n1n + 121n + 11ny- y == 0n+1nn + n n + 1 - n + 1n n + 122-1n + 12La suite est décroissante.ynb y - x =⟹y - x = 0nn1nlimn+→nnc Les deux suites sont adjacentes, donc d'après le théorème de même nom, elle sont convergentes vers la même limite.Exercice 5 :On considère la suite définie par récurrence de la manière suivante :unnNu= 3 +n+12un Etudier la convergence de cette suite pour . On se placera dans u = 20I = 1 ; 5 .Correction :Il s'agit d"une suite récurrente définie à l'aide de la fonction : x ↦f x = 3 + 2x• L'intervalle est stable par car : I = 1 ; 5fx I ⟹ 1 ⩽x ⩽5 ⟹⩽⩽⟹ 3 +⩽3 +⩽3 +252x21252x21⟹ 3 +⩽f x ⩽5 ⟹f x I.25 • est décroissante sur les suites extraites et sont monotones de fI ⟹u2nu2n+1sens opposés..u = 2 ⟹u = f u= 4 ⟹u = f u=0102172 croissante décroissante.u u⟹u202n⟹u2n+1
Page 6 : • Tous les termes de la suite se trouvent dans l'intervalle , puisque . On en déduit Iu I0: croissante et majorée par convergente vers u2n5 ⟹u2nℓI1 décroissante et minorée par convergente vers u2n+11 ⟹u2n+1ℓI2• est une suite récurrente définie à l'aide de est un point fixe de u2nf f ⟹ℓ1.f f est une suite récurrente définie à l'aide de est un point fixe de u2n+1f f ⟹ℓ2.f f• Les points fixes de sont les solutions de .f ff f x = x Or .f f x = f f x= 3 += 3 += 23 + 2x2x3x + 211x + 63x + 2f f x = x ⟺= x ⟺ 11x + 6 = 3x + 2x 11x + 63x + 22f f x = x ⟺ 3x - 9x - 6 = 0 ⟺x - 3x - 2 = 0 22On trouve 2 solutions : et unique point fixe I3 -217ℓ=3.563 +217dans .I• Nous avons donc forcément : .ℓ= ℓ= ℓ12Conclusion : u=u= ℓ ⟹u = ℓ=.limn+→2nlimn+→2n+1limn+→n3 +217Exercice 6 :Déterminer, si elle existe, la limite de chacune des suites suivantes. Sinon, justifier pourquoi il n'y a pas de limite.1. z =.n2ni - 5n + 3i7n - n i + 4222. .z =n3 + 3i7nCorrection :1. z ===n2ni - 5n + 3i7n - n i + 422-5n + i 2n + 37n + 4 - n i22-5n + i 2n + 37n + 4 + n i7n + 4+ n2222 2
Page 7 : z =n-35n - 20n - 5n i + i 14n + 21n + 8n + 12 - 2n - 3n7n + 4+ n32423222 2z =n-37n - 17n + i -5n + 14n + 29n + 12n + 49n + 56n + 16324242 et Re z= n-37n - 17nn + 49n + 56n + 163242= 0.limn+→-37nn34 et Im z= n-5n + 14n + 29n + 12n + 49n + 56n + 164242= - 5.limn+→-5nn44Finalement, et z = 0 - 5i = - 5i.limn+→nAutre méthode : z ===n2ni - 5n + 3i7n - n i + 422n- 5 +n- i +22in3in227n4n2- 5 +- i +2in3in27n4n2Ensuite : ==== 0limn+→2inlimn+→3in2limn+→7nlimn+→-4n2car leurs modules ont tous =;=;=;=2in2n3in23n27n7n-4n24n2pour limite 0.Conclusion : z == - 5i.limn+→n-5-i2. , avec et z == an3 + 3i7nna = 3 + 3i7a ==0.6+372372372 suite géométrique de raison . On en déduit : z = a = annna 1z = 0 ⟹z = 0.limn+→nlimn+→n
