DS2 2021 2022
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Page 1 : 2021/2022Département MathématiquesPreIng-2Algèbre linéaire et bilinéaireDevoir surveillé 213 mai 2022◁Consignes ▷Durée : 90 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L'épreuve est composée de deux exercices indépendants.◁Sujet de l'épreuve ▷Exercice 1.xx pointsOn considère la suite XnnN de matrices, éléments de M2,1R, dénie pour tout n N parXn+1 = AXn + BavecA ="012121;B = 11;Xn = xnynoùX0 = x0y0est donnée1 Montrer qu'il existe une solution constante à cette suite récurrente, c'est-à-dire, trouver unematrice X M2,1R telle queX = AX + B2 Pour tout n N, on pose Un = Xn X et on note Un = unvna Justier que pour tout n N, Un+1 = AUn.b Montrer que pour tout n N, Un = AnU0.c Calculer An, pour tout n N.d Donner en fonction de n, u0 et v0, l'expression des suites réelles unnN et vnnN etétudier leur convergence.3 Montrer que la suite XnnN converge vers X.Exercice 2.xx pointsOn veut résoudre le système diérentiel linéaire non homogène à coecients constants :x′1 = x1 + x2 x3 + t + 1x′2 = 4x1 + 3x2 4x3 + 4t + 1x′3 = 2x1 + x2 2x3 + 2t + 1Les inconnues sont les fonctions x1, x2 et x3 de la variable réelle t R.1
Page 2 : 1 Ecrire ce système sous la forme matricielleX′t = AXt + BtIen précisant les diérentes matrices.2 Calculer le polynôme caractéristique de A et donner son expression sous forme factorisée.En déduire que le spectre de A est SpA = 1, 0, 1.3 Déterminer les sous-espaces propres de A.4 Par un changement de variable, montrer que le système I est équivalent au système suivantY ′t = DY t + StIIoù D est une matrice diagonale et St est une matrice unicolonne à expliciter.5 Résoudre le système II.6 En déduire Xt, la solution générale du système I.2
