DS2 2021 2022
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Page 1 : CYTech.pngPr´eing 2Devoir Surveill´e 2Matiere : Analyse dans RnDate : Jeudi 06 Janvier 2022L’usage de tout appareil ´electronique est interdit.Aucun document n’est autoris´e.Dur´ee : 1h30Le bareme est donn´e a titre indicatif.Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont trait´es n’est pas impos´e.♣♣♣Exercice 1 : Question de cours 2 pointsSoit l’application f d´efinie parf:R2→Rx, y7→fx, yMontrer que f est diff´erentiable en x, y si et seulement silimh1,h2→0,01h1, h2 fx + h1, y + h2fx, y h1fxx,yh2fyx,y!= 0Exercice 2 : Topologie 6 pointsSoit les ensemblesA = 1; 3 4B = x, y, z R3 / x2 + y4 + z2 20221. D´eterminer si A et B sont ferm´es. 1.5 points2. D´eterminer A et B. 1.5 points3. Sous quels criteres un sous-ensemble de Rn est un compact ? 1 point4. A, B, A et B sont-ils des compacts ? 2 pointsExercice 3 9 pointsSoit l’application f d´efinie parf:R2→Rx, y7→fx, y =x2y5x6+y6si x, y ̸= 0, 00sinon1
Page 2 : 1. Montrer quea, b R a a6 + b61/60.5 point2. f est-elle continue sur R2 ? 1.5 points3. Calculer les d´eriv´ees partielles premieres sur R2. 3 points4. Les d´eriv´ees partielles premieres sont-elles continues sur R2 ? 1.5 points5. Sur quel domaine de R2, f est-elle C1 ? 0.5 point6. f est-elle diff´erentiable en 0, 0 ? 2 pointsExercice 4 5 pointsSoit l’application f d´efinie parf:R3→Rx, y, z7→fx, y, z =expzx2+y2 sinx2 + y2si x, y ̸= 0, 01sinon1. Montrer que f est continue sur R3. 1 points2. Calculer les d´eriv´ees partielles de f sur R3. 4 points2
