DS2 2021 2022
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Page 1 : Exercice 1 :Déterminer, si elle existe, la limite de chacune des suites suivantes. Sinon, justifier pourquoi il n'y a pas de limite.1. a =-nn + 3n3n + 232. b =n7n + 35 + 2n4nn3. c =ntan n𝜋54. . On pourra utiliser la limite suivante : d = 1 +n1n22n2= 1.limx0→1 + xxlnCorrection : 1. a ==n-++n + 3n3n + 23n + 3n3n + 23n + 3n3n + 23n + 3n - n + 2+33n + 3n3n + 23a ===n3n - 2+n + 3n3n + 23n 3 -+2nn31 + 3n21 + 2n33 -+2nn1 + 3n21 + 2n3a =n3 -+2nn1 + 3n21 + 2n3Le numérateur tend vers et le dénominateur vers 3+1 + 1 = + Conclusion : a = 0limn+→n2. b ===n7n + 35 + 2n4nn3+ 151 +n7n34nn2n5n35n+ 11 +7n34n2n5n par croissances comparées,== 0limn+→7n34nlimn+→7ne4n3ln
Page 2 : par croissances comparées,== 0limn+→2n5nlimn+→2nen5ln suite géométrique de raison .= 0limn+→35n 135Conclusion : b = 0limn+→n3. Pour étudier la suite, considérons les suites extraites et .c =ntan n𝜋5c5nc5n+1• c==n𝜋= 0 ⟹c= 0.5ntan 5n𝜋5tanlimn+→5n• .c==n𝜋+== cste ⟹c=5n+1tan5n + 1 𝜋5tan𝜋5tan 𝜋5limn+→5n+1tan 𝜋5La suite possède deux suites extraites qui ont des limites différentes, donc elle n'a pas de cnlimite.4. .d = 1 += exp 2n1 +n1n22n22 ln1n2On peut écrire : 2n1 += 22 ln1n21 +ln1n21n2 Sachant que : , et que , on obtient par composition : = 1limx0→1 + xxln= 0limn+→1n2= 1 ⟹2= 2 ⟹d = elimn+→1 +ln1n21n2limn+→1 +ln1n21n2limn+→n2Exercice 2 :Montrer, en revenant à la définition de la limite, que : 1. , pour u = 3limn+→nu =.n3n + 5n - 222
Page 3 : 2. , pour .v = - limn+→nv = - 11n + 8nIl vous est demandé de déterminer le rang à partir duquel on , ou bien Nu - ℓ 𝜖nu Anou bien encore pour un , un ou un fixés.u Bn𝜖 0A 0B 0Correction :1.u = 3 ⟺𝜖 0, N N, n ⩾N, u - 3 𝜖limn+→nnSoit fixé. Peut-on trouver un rang à partir duquel on a : ??𝜖 0Nu - 𝜖n23u - 3 𝜖 ⟺- 3 𝜖 ⟺ 𝜖 n3n + 5n - 2223n + 5 - 3 n - 2n - 2222u - 3 𝜖 ⟺ 𝜖 ⟺ 𝜖n11n - 2211n - 22u - 3 𝜖 ⟺n - 2 ⟺n + 2 ⟺n n211𝜖211𝜖+ 211𝜖Il suffit donc de prendre , pour avoir : N = E+ 1+ 211𝜖n ⩾N, u - 3 𝜖n2. v = - ⟺B 0, N N, n ⩾N, v Blimn+→nnSoit fixé. Peut-on trouver un rang à partir duquel on a : ??B 0Nv Bnv B ⟺- 11n + 8 B ⟺- 11n B - 8 ⟺ 11n 8 - Bnv A ⟺n n8 - B11Il suffit donc de prendre , pour avoir : N = E+ 18 - B11n ⩾N, v AnExercice 3 :Soit une suite réelle convergente avec .unnNu = - 3limn+→nMontrer que l'on peut trouver un rang à partir duquel on a : .N N-4 u - 2nAutrement dit, .N N, n ⩾N, - 4 u - 2nCorrection :u = - 3 ⟺𝜖 0, N N, n ⩾N, u + 3 𝜖limn+→nn
Page 4 : Si on choisit , cette définition nous garantit que : 𝜖= 1N N, n ⩾N, u + 3 1nOr : u + 3 1 ⟺- 1 u + 3 1 ⟺- 1 - 3 u 1 - 3 nnnDonc on a bien : N N, n ⩾N,- 4 u - 2nExercice 4 :Soit la suite définie par : .unnNu =nnk=0-1k!kOn pose : , et .a = un2nb = un2n+1Montrer, à l'aide de ces deux suites extraites, que la suite est convergente.unnNCorrection :a a- a = u- u= u- u=n+1n2 n+12n2n+22n-2n+2k=0-1k!k 2nk=0-1k!kDonc : a- a =+=+ 0n+1n-12n + 1 !2n+1-12n + 2 !2n+2-12n + 1 !12n + 2 !La suite est décroissante.anb- b = u- u= u- u=n+1n2 n+1 +12n+12n+32n+1-2n+3k=0-1k!k2n+1k=0-1k!kDonc : b- b =+=- 0n+1n-12n + 2 !2n+2-12n + 3 !2n+312n + 2 !12n + 3 !La suite est croissante.bnb b - a = u- u=-=nn2n+12n2n+1k=0-1k!k 2nk=0-1k!k-12n + 1 !2n+1= 0 ⟹b - a = 0limn+→-12n + 1 !2n+1limn+→nnc Les deux suites sont adjacentes, donc d'après le théorème de même nom, elle sont convergentes vers la même limite.d Les deux suites extraites , et convergent vers la même limite, par u2nu2n+1conséquent, la suite mère est convergente vers cette même limite.unnExercice 5 :
Page 5 : On considère la suite définie par récurrence de la manière suivante :unnNu=n+14 + 3un1. Etudier la convergence de cette suite pour . On se placera dans u = 00I = 0; 7 .On vous demande de justifier la stabilité de , de déterminer le sens de variation de la Isuite, de justifer sa convergence et enfin de déterminer sa limite.2. Même question en partant de .u = 70Correction :1. Il s'agit d'une suite récurrente définie à l'aide de la fonction : x ↦f x = 4 + 3x• L'intervalle est stable par car : I = 0 ; 7fx I ⟹ 0 ⩽x ⩽7 ⟹0 ⩽3x ⩽21 ⟹ 4 ⩽4 + 3x ⩽25⟹⩽⩽⟹ 2 ⩽f x ⩽5 ⟹f x I.44 + 3x25 • est croissante sur la suite est monotone.fI ⟹un.u = 0 ⟹u = f u= 2 010 croissante .u u⟹u10n• Tous les termes de la suite se trouvent dans l'intervalle , puisque . On en déduit Iu I0: croissante et majorée par convergente vers un7 ⟹unℓI• est une suite récurrente définie à l'aide de est un point fixe de .unf ⟹ℓf• Les points fixes de sont les solutions de .ff x = x f x = x ⟺= x ⟺ 4 + 3x = x⟺x - 3x - 4 = 0 4 + 3x22On trouve 2 solutions : et unique point fixe de dans .-1 Iℓ= 4fI• Conclusion : u = 4 limn+→n2. • .u = 7 ⟹u = f u= 5 010 décroissante .u u⟹u10n• Tous les termes de la suite se trouvent dans l'intervalle , puisque . On en déduit Iu I0: décroissante et minorée par convergente vers un0 ⟹unℓI
Page 6 : • est une suite récurrente définie à l'aide de est un point fixe de .unf ⟹ℓf et unique point fixe de dans .ℓ= 4fI• Conclusion : u = 4 limn+→nExercice 6 :Déterminer, si elle existe, la limite de chacune des suites suivantes. Sinon, justifier pourquoi il n'y a pas de limite.1. z =+ i.n2n + 35 - n23n + -1n + 12n22. .z = eni2n𝜋3Correction :1. z =+ in2n + 35 - n23n + -1n + 12n2 et Re z= n2n + 35 - n2= 0.limn+→2n-n2 et Im z= n3n + -1n + 12n2= 3.limn+→3nn22Finalement, z = 0 + 3i = 3i.limn+→n2. Pour étudier la suite , considérons les suites extraites et .z = eni2n𝜋3z3nz3n+1• z= e= e= 1 ⟹z= 1.3ni2 3n 𝜋3i2n𝜋limn+→3n• .z= e= e= e= cste = j ⟹z= j 13n+1i2 3n + 1 𝜋3i2n𝜋+i2𝜋3i2𝜋3limn+→3n+1La suite possède deux suites extraites qui ont des limites différentes, donc elle n'a pas de znlimite.
