DS2 2022 2023 V2
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 2Algèbre IIDouble DiplômeDate: Mardi 11 Avril 2023L’usage de tout appareil électronique est interditDurée: 1h30Nombre de pages: 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 4 pointsOn considère la famille e1,e2,e3,e4 de vecteurs de R4 définis paru1 = 1,2,3,1,u2 = 2,1,1,2,u3 = 4,1,3,8,u4 = 5,2,5,11,u5 = 3,0,1,5On pose F = vectu1,u2,u3,u4,u51. Démontrer que u1,u3 et u5 sont liés.2. Démontrer que u1,u2 est une base de F.Exercice 2 6 pointsOn considère les deux ensembles:F =©x, y,z,t R4,x +2y + z + t = 0ªetG =©x, y,z,t R4,x +2y z + t = 0 et y z = 01. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R4 et en déterminer une base.2. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R4 et en déterminer une base.3. L’ensemble F G est-il un espace vectoriel? Si oui, déterminer une base de F G.1
Page 2 : Exercice 3 6 points1. On considère R2, on définit l’addition parx, y R2,x′, y′ R2,x, y+x′, y′ = x + x′, y + y′On admettra que E = R2,+ est un groupe.a On munit R2 d’une loi externe ".":R×E →Eλ,x, y 7→λ.x, yEnoncer les 4 propriétés que doit vérifier la loi externe pour montrer que R2,+,. est un espacevectoriel.b Si la loi externe est définie par x, y R2λ.x, y = λx, y, montrer que R2,+,. n’est pas unespace vectoriel.2. Montrer que l’ensemble des fonctions de 0;1 dans R est vérifiant f 1 = 2f 0 est un espace-vectoriel.Exercice 4 6 pointsDans le R espace vectoriel R3, on considère les deux sous-espaces vectorielsF = vectu1 = 1,1,0;u2 = 0,1,2etG = vectu3 = 2,1,2;u4 = 1,0,2On rappelle que la famille des vecteurs e1 = 1,0,0,e2 = 0,1,0 et e3 = 0,0,1 est une base de R3 nom-mée base canonique.1.a Montrer que u1,u2,u3 est une famille liée et exprimer u3 comme combinaison linéaire de u1et u2.b Montrer que F = G.2. Compléter u1,u2 en une base de R3.2
