DS2 2022 2023
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IDate : Mardi 6 Decembre 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 5 points : Soit R la relation définie sur R par :x R,y R,xRy⇐⇒x = y = 0 ou xy 0.1. Montrer que R est une relation d’équivalence.Solution :a Reflexive 0.5 points : Pour tout x R, nous avonsx = 0 ou x2 0Donc xRx.b Symétrique 0.5 points : Pour tout x, y R2, nous avonsxRy⇐⇒x = y = 0 ou xy 0⇐⇒y = x = 0 ou yx 0⇐⇒yRx.c Transitive 1 point : Pour tout x, y,z R3, nous avonsxRy et yRz⇐⇒x = y = 0 ou xy 0ety = z = 0 ou yz 0⇐⇒x = y = 0 et y = z = 0ouxy 0 et yz 0=⇒x = z = 0 ou xz 0=⇒xRz.1
Page 2 : 2. Décrire la classe d’equivalence de 0. 1 pointSolution : Pour tout x R, nous avonsxR0⇐⇒x = 0.Donc cl0 = 0.3. Soit a R+, décrire la classe d’equivalence de a. 1 pointSolution : Pour tout x R, nous avonsxRa⇐⇒x · a 0⇐⇒x 0.Donc cla = R+.4. En deduire toutes les classes d’équivalence. 1 pointSolution : La relation R possède trois classes d’equivalence0;R+;R.Exercice 2. 5 points : Soit E R un ensemble non vide.On note FE,R l’ensemble des fonctions définies sur E à valeurs dans R.Pour tout f ,g FE,R on posef Rg⇐⇒x E, f x ⩽gx.1. Montrer que R est une relation d’ordre sur FE,R.Solution :a Reflexive 0.5 points : Pour tout f FE,R, nous avonsx E, f x ⩽f x.Donc xRx.b Antisymétrique 0.5 points : Pour tout f ,g FE,R2, nous avonsx E, f x ⩽gx et gx ⩽f x=⇒x E, f x = gx.Donc f = g.c Transitive 0.5 points : Pour tout f ,g,h FE,R3, nous avonsx E, f x ⩽gx et gx ⩽hx=⇒x E, f x ⩽gx ⩽hx.2. Est-ce un ordre total? Justifier. 1.5 pointsSolution : Non dès l’instant où card E 2. Par exemple, soit E = R, alors les fonctions cosx et sinx nesont pas comparables.2
Page 3 : 3. Soit f FE,R. On dit que f est majoré s’il existe M R tel quex E, f x ⩽M.Montrer que si « f est majorée » alors « A =©fª» possède un majorant pour la relation d’ordre R surFE,R 1 point.La réciproque est-elle vraie? Justifier votre réponse. 1 pointSolution : Si f est majorée alors la fonction constante gx = M est un majorant de A. La réciproqueest fausse. On peut par exemple choisir f x = x et gx = x +1 avec E = R. Alors g est un majorant deA mais f n’est pas majorée.Exercice 3. 4 points : Soit E = 1,2,3,4,5,6 et R la relation binaire sur E dont le graphe estΓ =©1,1,1,3,2,2,2,4,2,5,3,1,3,3,4,2,4,4,4,5,5,2,5,4,5,5,6,6ª.Rappelons queaRb⇐⇒a,b Γ.1. Montrer que la relation R est réflexive et symétriqueSolution :a Reflexive 1 point : Pour tout x E, nous pouvons vérifier que x,x Γ.b Symétrique 1 point : Pour tout x, y E2, nous pouvons vérifier que si x, y Γ alors y,x Γ.2. Montrer que la relation R est transitive 1 point. En déduire toutes les classes d’équivalence.1 pointSolution : La relation R possède trois classes d’equivalence1,3;2,4,5;6.Exercice 4. 6 points : Soit f : R\© 12ª→R, l’application définie parf x = x +12x 1.1. Déterminer f¡¤ 12,1¤¢0.75 points, f 1 0,2 0.75 points, f 1 ¡© 12ª¢0.5 points.Solution : Nous avonsfµ¸12,1¸¶= 2,+;f 1 0,2 =,1 1,+;f 1µ½12¾¶= ;3
Page 4 : 2. f est-elle injective? Justifier votre réponse. 1 pointSolution :Nous avonsf x = f y=⇒x +12x 1 = y +12y 1=⇒x +12y 1 = y +12x 1=⇒2xy x +2y 1 = 2xy y +2x 1=⇒3x = 3y=⇒x = y.3. f est-elle surjective? Justifier votre réponse. 0.5 pointsSolution : Non, car 12 n’a pas des antécédents.4. Si f n’est pas bijective, déterminer les plus grands ensembles E et F tels que f soit une bijection de Esur F. 0.5 + 0.5 pointsSolution : E = R\© 12ªet F = R\© 12ª5. Donner l’expression de « f ◦f ». 1 pointSolution : Nous avonsf f x = f x+12f x1 =x+12x1 +12x+22x1 1=x+1+2x12x12x+22x12x1=3x2x132x1= xAinsi f ◦f = Id.6. En déduire la réciproque de f sur les ensembles E et F. 0.5 pointsSolution : Puisque f ◦f = Id, nous pouvons conclure que f 1 = f .Exercice 5. 4 points : Soit f : E →F une application, A et B deux parties de E, C et D deux parties de F.1. Montrer que f A B = f Af B. 2 pointsSolution : Voir exercice 8 du TD.2. Montrer que f 1C D = f 1Cf 1D. 2 pointsSolution : Voir exercice 8 du TD.4
