DS2 2023 2024 Correction
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Page 1 : Préing 2 : DS 2 sujet 1 d’Analyse dans RnL’usage d’appareil électronique est interdit.Date : Lundi 11 Décembre 2023 à 16h30Aucun document n’est autorisé.Durée : 1hLe barème est donné à titre indicatif.Nombre de pages : 1 page recto versoIl sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications. Lesujet comporte 3 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.♣♣♣Exercice 1 : limite et continuité 6 points1. Déterminer si les applications suivantes sont continues sur R2fx, y =xyx+ysi x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 01 pointgx, y = x4y2x4+y6si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 02 points2. Déterminer les dérivées partielles premières de g sur R2. 2 points3. Déterminer la limite suivantelimx,y→0,02xy + x2 y2 + yx2 + 3y2 xy + 2y1 point1. Pour la fonction f :Pour R2\0, 0 :1 pointIl s’agit du quotient de deux fonctions parfaitement définies et dont le dénominateur ne s’an-nule jamais sur R2\0, 0, donc la fonction est continue sur ce domaine.En 0, 0 :1 pointPassons en coordonnées polaires. Alors˜f =ρ cosθρ sinθρ cosθ + ρ sinθ = ρcosθ sinθ cosθ + sinθor θ R, cosθ + sinθ 0 d’où l’on déduit quecosθ sinθ cosθ+ sinθ est borné. Finalementlimρ→0˜f = 0 = f0, 0donc f est continue en 0, 0.1
Page 2 : Finalement f est continue sur R2.Pour la fonction g :la fonction n’était pas la bonne. Elle aurait dû êtregx, y = x4y2x4+y6si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 0Dans ce cas :En R2\0, 0 :La fonction est continue sur R2\0, 0 comme fraction rationnelle dont le dénominateur nes’annule jamais.En 0, 0 :Alorsx4y2x4 + y6 y2→x,y→0,0 0donc g est continue en 0, 0.Finalement g est continue sur R2.Compte-tenu de l’erreur et du fait que la fonction n’est pas traitable, j’ai redistribué les2 points sur l’exercice.2. Calcul des dérivées premières de g.sur R2\0, 0 :gxx,y= 3x2y2x3 + y6 3x5y2x3 + y62=3x2y8x3 + y621 pointgyx,y= 2yx3x3 + y6 6x3y7x3 + y62= 2yx6 4x3y7x3 + y621 pointEn 0, 0 :gx0,0= limt→0gt, 0 g0, 0t= 00.5 pointgy0,0= limt→0g0, t g0, 0t= 00.5 point3. On cherche maintenant à déterminerlimx,y→0,02xy + x2 y2 + yx2 + 3y2 xy + 2y2
Page 3 : Orhx, x = 2x2 + x2 x2 + xx2 + 3x2 x2 + 2x = 2x2 + x3x2 + 2x = 2x + 13x + 2limx→0 hx, x = 12Alors quehx, 0 = x2x2 = 1 →x→0 1on a donc trouvé 2 chemins qui mènent à des valeurs différentes de la limite, donc la limiten’existe pas en 0, 0 1 point.Exercice 2 : Différentiabilité 8 pointsPour les 2 applications de R2 dans R suivantes, démontrer si elles sont différentiables ou non sur R2fx, y =xx2+y2si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 02.5 pointsgx, y =x2y+3y3x2+y2si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 05.5 pointsCommençons par la fonction f définie parfx, y =xx2+y2si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 0Pour R2\0, 0 : 1 pointf est C1 comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule jamais sur cet ensemble. OrC1 =⇒différentiable.donc f est différentiable sur R2\0, 0.En 0, 0 : 1.5 pointsPrenons par exemple fx, 0fx, 0 = xx2 = 1x →x→0 ±donc la fonction f n’est pas continue en 0, 0 et donc elle n’est pas différentiable en 0, 0.3
Page 4 : Etudions maintenant la fonction g :gx, y =x2y+3y3x2+y2si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 0Pour R2\0, 0 : 1 pointg est C1 sur ce domaine comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule jamais. Or C1implique différentiable, donc g est différentiable sur R2\0, 0.En 0, 0 :g est différentiable en 0, 0 si et seulement silimh1,h2→0,01ph21 + h22"gh1, h2 g0, 0 h1gx0,0h2gy0,0= 01 pointIl faut alors déterminer les dérivées partielles de g en 0, 0.gx0,0= limt→0gt, 0 g0, 0t= 00.5 pointgy0,0= limt→0g0, t g0, 0t= limt→01t3t3t2 = 31 pointAlors g est différentiable en 0, 0 si et seulement silimh1,h2→0,01ph21 + h22"h21h2 + 3h32h21 + h223h2= 00.5 pointNotonsϵh1, h2 =1ph21 + h22"h21h2 + 3h32h21 + h223h2=1ph21 + h22"h21h2 + 3h32 3h2h21 3h32h21 + h22=2h21h2ph21 + h22h21 + h22Etudions maintenant ϵh1, h1 :ϵh1, h1 =2h312h21p2h21=h1h12ainsilimh1→0+ ϵh1, h1 = 12 ̸= 01.5 pointsdonc g n’est pas différentiable en 0, 0.Exercice 3 : propriété C1 6 pointsfx, y =y4x2+y2si x, y ̸= 0, 00si x, y = 0, 04
Page 5 : 1. Montrer que f est continue sur R2. 1 point2. Sur quel domaine f est-elle de classe C1 ? 5 points1. En 0, 0 : 0.5 pointPassons en coordonnées polaires˜fρ, θ = ρ4 sin4θρ2= ρ2 sin4θ →ρ→0 0donc f est continue en 0, 0.Sur R2\0, 0 : 0.5 pointclairement f est continue sur ce domaine comme fraction rationnelle dont le dénominateurne s’annule jamais.2. Calcul des dérivées partielles premières :dérivées partielles en 0, 0 :fx0,0= limt→0ft, 0 f0, 0t= 00.5 pointfy0,0= limt→0f0, t f0, 0t= limt→0t2t = 01 pointdérivées partielles pour x, y ̸= 0, 0 :fxx,y̸=0,0= 2xy4x2 + y221 pointfyx,y̸=0,0= 4y3x2 + y2 2y5x2 + y22= 4y3x2 + 2y5x2 + y221 pointAinsi les fonctions dérivées partielles premières sur R2 sont données parfxx,y=2xy4x2+y22si x, y ̸= 0, 00sinonfyx,y=4y3x2+2y5x2+y22si x, y ̸= 0, 00sinonEtudions la dérivée partielle par rapport à x qui semble clairement ne pas être continue.Posons, par commoditéhx, y = fxx,y̸=0,05
Page 6 : Passons en coordonnées polaires˜hρ, θ = 2ρ5 cosθ sin4θρ4→ρ→0 ±0donc la dérivée partielle par rapport à x est pas continue en 0, 0. Il en va de même pour ladérivée partielle par rapport à y. Donc les dérivées partielles premières de f sont continuesen 0, 0. 1 point.Sur R2\0, 0 :Par contre f est C1 sur R2\0, 0 comme fraction rationnelle dont le dénominateur nes’annule jamais sur ce domaine. 0.5 point6
