DS2 2023 2024 V1
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 2Algèbre IDate : Mercredi 29 Novembre 2023L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h00Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 4 points : Soit E = 0,1,2,3,4,5,6 et R la relation binaire sur E dont le graphe estΓ =©0,0,1,1,1,2,1,4,2,1,2,2,2,4,3,3,3,5,4,1,4,2,4,4,5,3,5,5,6,6ª.Rappelons queaRb⇐⇒a,b Γ.1. Montrer que la relation R est réflexive et symétriqueSolution :a Reflexive 1 point : Pour tout x E, nous pouvons vérifier que x,x Γ.b Symétrique 1 point : Pour tout x, y E2, nous pouvons vérifier que si x, y Γ alors y,x Γ.2. Montrer que la relation R est transitive 1 point. En déduire toutes les classes d’équivalence.1 pointSolution : La relation R possède quatre classes d’equivalences0;1,2,4;3,5;6.Exercice 2. 6 points :Dans N, on définit une relation en posantm ⪯n⇐⇒k N, n = km.1. Montrer que ⪯est une relation d’ordre sur N.1
Page 2 : — Reflexive : Pour tout n N, nous avonsn = 1·n=⇒n ⪯n.— Antisymetrie : Pour tout m,n N, nous avonsm = nk, k Netn = k′m, k′ N=⇒m = kk′m=⇒kk′ = 1=⇒k = k′ = 1=⇒m = n.Doncm ⪯netn ⪯m=⇒m = n.— Transitive : Pour tout m,n,p N, nous avonsm = nk, k Netp = k′m, k′ N =⇒p = kk′n.Doncn ⪯metm ⪯p=⇒n ⪯p.L’ordre ⪯est-il total?Non, par exemple, entre 2 et 3 il n’y a pas de relation.On considère dans la suite de l’exercice que l’ensemble N est ordonné par la relation ⪯.2. L’ensemble N possède-t-il un plus petit élément?Solution : Oui, 1. En effet, pour tout n N, nous avons n = 1 = n ·1. Donc pour tout n N, 1 ⪯n.L’ensemble N possède-t-il un plus grand élément?Solution : Oui, 0. En effet, pour tout n N, nous avons 0 = 0·n. Donc pour tout n N, n ⪯0.3. Soit E = 2,4,10,14.L’ensemble E ordonné par la relation ⪯possède-t-il un plus grand élément, une borne supérieur?Justifier vos réponses.Solution : L’ensemble E ne possède pas un plus grand élément. En effet, 4 ne divise pas 2, 10 ou 14.De même, 10 ne divise pas 2, 4 ou 14 et 14 ne divise pas 2, 4 ou 14. La borne supérieur de E est donnepar le plus petit commun multiple de 2, 4, 10 et 14, c’est-à-dire 70.L’ensemble E ordonné par la relation ⪯possède-t-il un plus petit élément, une borne inférieur?.Solution : Le plus petit élément de E est 2, qui correspond aussi à la borne inférieur de E.2
Page 3 : Exercice 3. 6 points :1. On considère l’applicationf : R2 →R2x, y 7→³x + y2, x y2.a Montrer que f est injective.Solution : Soit x, y,x′, y′ R2. Alorsf x, y = f x′, y′ ⇐⇒³x + y2, x y2=µx′ + y′2, x′ y′2¶⇐⇒x + y2= x′ + y′2etx y2= x′ y′2Ainsi, si on additionne et puis soustrait les deux derniers égalités on obtientx = x′ety = y=⇒x, y = x′, y′b Montrer que f est surjective.Solution : Soit m,n R2. Alors il existe x, y R2 tel quef x, y = m,n⇐⇒x + y2= metx y2= n⇐⇒x = m +nety = m nDonc f m +n,m n = m,n.c Déterminer f ◦f .Solution : Nous avonsf f x, y=f³x + y2, x y2=Ã x+y2 + xy22,x+y2 xy22!=³x2 , y2= 12x, y.d Déterminer l’application réciproque de f .Solution : D’après la question précédente, nous avonsf ◦f = 12 ·IdR2=⇒f ◦¡2· f¢=¡2· f¢◦f = IdR2.Ainsi, la réciproque de f est donnée parf 1 = 2· f3
Page 4 : 2. Soit g : R2 →R2 définie pargx, y =¡x2 + y2,2xy¢.a Est-ce que g est surjective?Solution : Non, en effet toute couple a,b R2 avec a Rne possède pas d’antécédents.Exercice 4. 4 points : Soit f : E →F et g : F →G deux applications.1. Montrer que si f et g sont injectives alors g ◦f est injective.2. Montrer que si f et g sont surjectives alors g ◦f est surjective.3. En déduire que si f et g sont bijectives alors g ◦f est bijective.Solution :1. Soient x, y E. Supposons g ◦f x = g ◦f y. Nous voulons montrer que : x = y. Orgf x = gf y=⇒zg injectivef x = f y=⇒zf injectivex = y.2. Soit y G. Nous voulons montrer qu’il existe x E tel que y = g ◦f x. Or g est surjective, donc ilexist t F tel que y = gt. Mais f est aussi surjective, donc : t = f x pour un certain x E. Finale-ment, comme voulu :y = gt = gf x = g ◦f x.3. Si f est bijective, alors f est injective et surjective. Le même peut être dit pour g. La proposition estdonc une conséquence directe des points 1 et 2.4
