DS2 2023 2024 V1
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Page 1 : Preing 1Devoir Surveille 2Analyse IIDate : 29 Avril 2024L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1h00Nombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision desjustifications. Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sonttraites n’est pas impose.Exercice 1. 4 points1. Donner des equivalents pour les fonctions suivantes :a gx = 1 cos x ln1 + ex3x3 tan xen 0.b hx = cos x 1ex 1en 0.2. Calculer la limite de gxhx lorsque x tend vers 0.Exercice 2. 6 pointsCalculer les developpements limites des fonctions suivantes :1. fx =lncos xx ln1 x a l’ordre 2 au voisinage de 0.2. gx = sin2xex2 1 a l’ordre 5 au voisinage de 0.Exercice 3. 4 points1. Soient f, g et h trois fonctions definies sur un voisinage de x0 R. Montrer que si f x0 g,et g x0 h alors f x0 h.2. Soient m, n N, tel que m n et f une fonction definie sur un voisinage de 0. Montrerque f = oxn implique f = oxm3. Montrer que :lnx +x + 1+ln x.Exercice 4. 6 points1. Soit un une suite verifiant pour tout n 2 naturel lnn + 1un lnnun1 = n etsoit u1 = 0. En faisant intervenir une suite telescopique, determiner un equivalent le plussimple possible de un quand n →.2. Montrer que C5n n5120 quand n →.3. Determiner un equivalent le plus simple possible de la suite vn = 4n1 cos 1n3quandn →4. Calculer la limite de C5n · vn lorsque n tend vers +.1
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