DS2 2023 2024 V2

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Page 1 : Préing 1, GC–MI1–MIM2–SUPMDevoir Surveillé 2Matière : Algèbre IIDate : mercredi 3 avril 2024L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1hNombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications. Le sujetcomporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé. Le barème est indicatif.♣♣♣Exercice 1 3 pts, questions de cours. Soit E un K–espace vectoriel.1. Soient u1, . . . , un E, donner la définition de « u1, . . . , un est une famille libre ».2. Énoncer le théorème de la base incomplète.Exercice 2 6 pts. Soit S le système linéaire homogène :x1 2x2 + x3 5x4 = 0x1 + 4x2 x3 + 9x4 = 0x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0.S1. Écrire la matrice A associée au système S.2. Échelonner A par la méthode du pivot de Gauss.3. Donner le rang de A.4. Déterminer l’ensemble F des solutions de S.5. En déduire que F est un sous-espace vectoriel dont on donnera une base, ainsi que la dimension.Exercice 3 5 pts. Dans R4, on considère le sous-ensemble :H =x, y, z, t R4 2x y z + 2t = 0.1. Démontrer que H est un sous-espace vectoriel de R4.2. Déterminer une base de H.3. En déduire la dimension de H.Exercice 4 6 pts. Dans R4, on considère les vecteurs :u1 = 1, 2, 1, 1,u2 = 2, 2, 1, 1,u3 = 1, 1, 1, 1,v1 = 2, 0, 1, 1,v2 = 1, 1, 2, 1,v3 = 0, 1, 1, 2,v4 = 1, 2, 2, 4,v5 = 1, 1, 1, 2.1. Montrer que la famille F = u1, u2, u3 est libre. Est-ce une base de R4 ?2. Compléter F en une base de R4.3. Déterminer les coordonnées du vecteur u = 1, 0, 0, 1 dans cette base.4. Justifier sans calculs que la famille G = v1, v2, v3, v4, v5 est liée.5. Déterminer les relations de liaison entre les vecteurs de G.

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