DS2 2023 2024 V3
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Page 1 : Preing 2Devoir Surveille 2CorrigeMatiere : Analyse dans RnDate : Mercredi 13 Decembre 2023Groupes : MI2, MI3Duree : 1hL’usage de tout appareil electronique est interditNombre de pages : 3Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications. Lesujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1. 4 pointsOn definit f sur R2\0, 0 →R parfx, y =x2x2 + y23/41. Montrer que f est prolongeable par continuite en 0, 02. Etudier l’existence de derivees partielles premieres en 0, 0.Correction1. D’une part, la fonction f est continue sur R2 \0, 0 comme quotient de deux fonctions continuesdont le denominateur ne s’annule pas. 0.5 ptsD’autre part, on afx, y x2 + y214 ,ou on a utilise x2 x2 + y2.Ainsi, f prolongeable par continuite en 0, 0 en posant f0, 0 = 0. 1.5 points2. Du fait que f0, t = 0 pour tout reel t, f admet une derivee partielle par rapport a la secondevariable en 0, 0 qui vaut fy 0, 0 = 0.1 ptD’autre part, pour t ̸= 0, on aft, 0 f0, 0t= t12Ceci tend vers +si t tend vers 0, et donc f n’admet pas de derivee partielle par rapport a lapremiere variable en 0, 0. 1 ptExercice 2. 3 pointsSoit f la fonction definit sur R parfx = sinx2.1. Ecrire, a l’aide des quantificateurs, que f n’est pas uniformement continue.2. Montrer que f n’est pas uniformement continue.Indication : considerez les suites xn = nπ et yn = pnπ + π2 .1
Page 2 : Correction1. ϵ 0, η 0, x, y R2, x y η et fx fy ϵ. 1 pt2. Sachant que sinnπ = 0 et sinnπ + π2= ±1, posons xn = nπ et yn = pnπ + π2 . Alorsfxn fyn = 1, tandis quexn yn =nπ nπ π2nπ + nπ + nπ + π2→0 .Ainsi, quelque soit η 0, il est possible de trouver n assez grand tel que xn yn η, et pourtantfxn fyn ϵ. La fonction f n’est pas uniformement continue sur R. 2 pointsExercice 3. 6 pointsSoit les ensemblesA = 1, 58B = x, y R2, x2 + y6 1C = x, y, t R3, x2 + y5 1 t21. Quels criteres definissent la compacite d’un sous-ensemble de Rn ?2. Determiner si A, B et C sont des compacts.Correction1. Un sous-ensemble de Rn est compact s’il est ferme et borne. 0.5 points2. A A n’est pas ferme. En effet, soit la suite definie pour n 1 par xn = 5 1n. Alors n 1,xn A. Or limn→+xn = 5 /A 1 pt.Donc A n’est pas un compact. 0.5 pointsB Puisque x2 0 et y6 0, l’equation x2 + y6 1 entraˆıne x2 1 et y6 1. On obtient doncx 1, 1 et y 1, 1, c’est-a-dire x, y1 : B est borne. 1 ptDe plus, B est l’image reciproque de 0, 1, qui est ferme, par l’application continue fx, y = x2+y6.B est donc egalement ferme. C’est bien une partie compacte de R2. 1 ptC C n’est pas borne. En effet, pour tout r 0, r,51 2r2, r est element de C remarquonsque l’on peut prendre la racine 5-ieme de tout reel, il ne doit pas necessairement ˆetre positif. Maisr,51 r2, rr peut ˆetre aussi grand que l’on veut. C n’est donc pas borne, et pas compact.2 pointsExercice 4. 8 pointsSoit f : R2 →R une fonction definie par fx, y =xy x2 y2x2 + y2 ,si x, y ̸= 0, 00,sinon.1. f est-elle continue sur R2 ?2. Calculer les derivees partielles premieres de f sur R23. f est-elle C1 sur R2 ?4. f est-elle differentiable sur R2 ?Correction1. D’une part, f est continue sur R2 \ 0, 0 comme quotient de deux fonctions continues dont ledenominateur ne s’annule pas. 0.5 ptsEn utilisant par exemple l’inegalite classique 2xy x2 + y2, puis l’inegalite triangulaire pour lavaleur absolue, on obtient :fx, y f0, 0 x2 y22x2 + y22,ce qui prouve la continuite de f en 0, 0. 1.5 points2
Page 3 : 2. D’une part, si x, y ̸= 0, 0, on afxx, y = x4y y5 + 4x2y3x2 + y220.5 ptsetfy x, y = xy4 + x5 4x3y2x2 + y220.5 pts .D’autre part, on a fx, 0 f0, 0 = 0, ce qui prouve quefx0, 0 = limt→0ft, 0 f0, 0texiste et vaut 0. 0.5 ptsPar antisymetrie des rˆoles joues par x et y dans l’expression de fx, y, fy 0, 0 existe et vaut 0.0.5 pts3. D’apres la question precedentefxx, y =x4y y5 + 4x2y3x2 + y22,si x, y ̸= 0, 00,sinon0.5 ptsetfy x, y =xy4 + x5 4x3y2x2 + y22,si x, y ̸= 0, 00,sinon. 0.5 ptsRemarquons d’abord que f est de classe C1 sur R2 \ 0, 0 comme quotient de deux fonctions declasse C1 dont le denominateur ne s’annule pas.0.5 pts On a :fxx, y fx0, 0 x4y + y5 + 4x2y3x2 + y226x2 + y252x2 + y226x2 + y212 ,ou on a utilise que x x2 +y21/2 et y x2 +y21/2. Ceci prouve que fx existe et est continuesur R2.0.75 ptsPar antisymetrie des rˆoles joues par x et y dans l’expression de fx, y, le mˆeme resultat est vraipour fy . 0.75 pts On a donc prouve que f est C1 sur R2.4. Toute fonction de classe C1 etant differentiable, f est differentiable sur R2. 1 pt3
