DS2 2023 2024
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Page 1 : 2023/2024Département MathématiquesPreIng2Algèbre linéaire et bilinéaireDevoir surveillé 27 mai 2024◁Consignes ▷Durée : 60 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L'épreuve est composée de 2 exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.◁Sujet de l'épreuve ▷Exercice 1.12 pointsOn veut résoudre le système diérentiel linéaire non homogène à coecients constants : x′t = yt + ty′t = xt t2Les inconnues sont les fonctions x et y de la variable réelle t R.1 Ecrire ce système sous la forme matricielleX′t = AXt + BtIen précisant les diérentes matrices.2 Calculer le polynôme caractéristique de A et donner son expression sous forme factorisée.En déduire que le spectre de A est SpA = 1, 1.3 Déterminer les sous-espaces propres de A.4 Par un changement de variable, montrer que le système I est équivalent à un système de laformeY ′t = DY t + StIIoù D est une matrice diagonale et St est une matrice unicolonne à expliciter.5 Résoudre le système II.6 En déduire Xt, la solution générale du système I.7 Determiner la solution unique Xt du système I vériant la condition initialeX0 = 111
Page 2 : Exercice 2.8 pointsOn considère la suite XnnN de matrices de M2,1R dénie pour tout n N parXn+1 = AXn + BavecA ="13161613;B ="1212;Xn = xnynoùX0 = x0y0est donnée1 Calculer la matrice X, où X M2,1R, solution du système X = AX + B.2 On note Un = unvnn N et on pose Un = Xn X.a Justier que pour tout n N : Un+1 = AUn.b Montrer que pour tout n N : Un = AnU0.c Calculer An.d Donner en fonction de n, u0 et v0 l'expression des suites réelles unnN et vnnN.e Etudier limn→Un.3 En déduire que la suite de matrices colonnes XnnN converge vers X.2
