DS2 2023 2024
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 2Analyse IDate : 12/12/2023L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h00Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 6 points : Déterminer, si elle existe, la limite de chacune des suites suivantes. Sinon, justifierpourquoi il n’y a pas de limite.1. n N, un =pn4 +3n2 pn4 +n 1.Solution : Nous avonspn4 +3n2 pn4 +n 1=pn4 +3n2 pn4 +n 1·pn4 +3n2 +pn4 +n 1pn4 +3n2 +pn4 +n 1=n4 +3n2 n4 n +1pn4 +3n2 +pn4 +n 1=3n2n +1n2q1+ 3n2 +n2q1+ 1n3 1n4=31n + 1n2q1+ 3n2 +q1+ 1n3 1n4Ainsilimn→+un =limn→+31n + 1n2q1+ 3n2 +q1+ 1n3 1n4= 32.2. n N, vn = Elnnn.Solution : Pour tout n N, nous avonslnn1 Elnn lnn=⇒lnn1nElnnnlnnn1
Page 2 : Ainsi, d’après le théorème d’encadrement, nous pouvons conclure0 = limn→+lnn1nlimn→+Elnnnlimn→+lnnn= 0.Par conséquent,limn→+Elnnn= 0.3. n N, zn = 1nn2 +n31+3n3+i · n2 +2n3n2 +2i .Solution : Pour tout n N, nous avons1nn2 +n31+3n3+i · n2 +2n3n2 +2i=1nn2 +n31+3n3+i · n2 +2n3n2 +2i · 3n2 2i3n2 2i=1nn2 +n31+3n3+i · 3n4 +6n3 2in2 4in9n4 +4=1nn2 +n31+3n3+ 2n2 +4n9n4 +4 +i · 3n4 +6n39n4 +4=1nn+11n3 +3+2n2 + 4n39+ 4n4+i ·3+6 1n9+ 4n4Ainsilimn→+zn =limn→+1nn+11n3 +3+2n2 + 4n39+ 4n4+i ·3+6 1n9+ 4n4= 13 +i 13.Exercice 2 4 points : Montrer, en revenant à la définition de la limite, que :1.limn→+un = 2, pour un = 2n3 3n3 +1 .Solution : Soit ϵ 0, on cherche N N, tel quen N,un 2 ϵ.C’est-à-dire, on cherche N N, tel quen N,¯¯¯¯2n3 3n3 +1 2¯¯¯¯ ϵ⇐⇒n N,¯¯¯¯2n3 3n3 +1 2n3 +1n3 +1¯¯¯¯ ϵ⇐⇒n N,¯¯¯¯2n3 32n3 2n3 +1¯¯¯¯ ϵ⇐⇒n N,5n3 +1 ϵ.2
Page 3 : Sachant que5n3 +1 ϵ⇐⇒5ϵ n3 +1⇐⇒5ϵ 1 n3⇐⇒µ5ϵ 1¶ 13 n,il suffit de poserN = Eõ5ϵ 1¶ 13!+1.Alors pour tout n N, nous avonsn N µ5ϵ 1¶ 13=⇒¯¯¯¯2n3 3n3 +1 2¯¯¯¯ ϵ.2.limn→+vn = , pour vn = 2ln3n +1.Solution : On doit vérifierm 0, N N, n N,n N =⇒vn M.Soit M 0, on cherche N N, tel quen N,vn M.C’est-à-dire, on cherche N N, tel que pour tout n N, nous avons2ln3n +1 m⇐⇒ln3n +1 m2⇐⇒3n +1 em2⇐⇒n em2 13Ainsi, il suffit de poserN = EÃem2 13!+1,pour concluren N em2 13=⇒2ln3n +1 mExercice 3 4 points : Pour tout n N, on posean =nXk=11k3etbn = an + 1n2 .3
Page 4 : 1. Montrer que les suites annN et bnnN sont adjacentes.Solution :— Nous avonsan+1 an =n+1Xk=11k3 nXk=11k3 =1n +13 0.Donc an est croissante.— Nous avonsbn+1 bn = an+1 +1n +12 an 1n2=1n +13 +1n +12 1n2=n2 +n +1n2 n +13n +13n2=n3 +2n2 n3 3n2 3n 1n +13n2=n2 3n 1n +13n2 0.Donc bn est décroissante.— De plusbn an = an + 1n2 an =1n2=⇒limn→+1n2 = 0.Par conséquent, les suites annN et bnnN sont adjacentes.2. En déduire la convergence des suites annN et bnnN. Qu’est-ce qu’on peut dire à propos de lavaleur de leur limite?Solution : D’après les théoème sur les suites adjacentes les suites annN et bnnN convergent versla même limite.Exercice 4 6 points : On considère la suite unnN définie par récurrence de la manière suivante :u0 = 6etun+1 = 4182un +12.On se placera dans I = 0, 18. On posef : I →Rx 7→4182x +12.1. Déterminer le sens de variation de la fonction f .Solution : Pour toute couple x, y R2 avec x y nous avonsx y=⇒2x +12 2y +12=⇒12y +12 12x +12=⇒182x +12 182y +12=⇒4182x +12 4182y +12.Ainsi f est strictement croissante.4
Page 5 : 2. Montrer que l’intervalle I est stable par f .Solution : Puisque f est croissante, pour tout x I nous avons0 x 18=⇒0 41812 = f 0 f x f 18 = 41848 18.3. Déterminer les points fixes de f dans cet intervalle.Solution : Nous avonsf x = x⇐⇒4182x +12 = x⇐⇒2x2 8x 30 = 0⇐⇒x2 4x 15 = 0⇐⇒x = 3oux = 5.Ainsi l’unique point fixe de f dans I est 3.4. Déterminer le sens de variation de la suite unnN.Solution : Comme f est croissante la suite un est monotone. De plusu1 = f u0 = 4182x6+12 6 = u0.Ainsi un est décroissante.5. Étudier la convergence de la suite unnN.Solution : Puisque l’intervalle I = 0,18 est stable par f et u0 = 6 I, on conclut quen, un = f un1 I.La suite unnN est donc décroissante est minorée, donc convergente. De plus, sa limite est un pointfixe de f dans I. Or l’unique point fixe de f dans I est 3. Ainsilimn→+un = 3.5
