DS3 2019 2020 Correction (1, 2 et 3p1) DS-Algebre2 PREING1 S2

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Correction proposée par Mathis S.

La correction a été faite dans la précipitation et peut contenir quelques erreurs, il est donc normal que la correction ne soit pas ultra détaillée, si vous constatez une erreur, merci de contacter Mathis S.

Exercice 1 :

1.

\[M_{a} = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 0 \\ a & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ a & a & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Si $a = 0$, la $2^{eme}$ ligne est nulle. ${Det}\left( M_{0} \right) = 0$

Sinon,

\[\det\left( M_{a} \right) = \left| \begin{matrix} 1 & a & 1 & 0 \\ a & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|\] \[\det\left( M_{a} \right) = - \left| \begin{matrix} 1 & a & 1 \\ a & a & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right|\] \[\det\left( M_{a} \right) = - \left( - \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ a & 0 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} 1 & a \\ a & a \end{matrix} \right| \right) = - \left( a + a - a^{2} \right) = - \left( 2a - a^{2} \right) = - a(2 - a)\]

2.

Si $\det\left( M_{a} \right) \neq 0$,

$a \notin { 0,2 },\ rg ( M_{a} ) = 4$

Si $a = 2$

\[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[M\sim\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[M\sim\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[M\sim\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[M\sim\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[rg\left( M_{2} \right) = 3\]

Exercice 2 :

1.

\[A = \begin{pmatrix} - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{pmatrix}\] \[A\sim\begin{pmatrix} 1 & - 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{pmatrix}\] \[A\sim\begin{pmatrix} 1 & - 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{pmatrix}\] \[A\sim\begin{pmatrix} 1 & - 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[A\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[\ker(f) = Vect\left\{ (1,1,1,0),(1,1,0,1) \right\}\] \[Im(f) = Vect\left\{ (1,1,1,0),(2,2,1,1) \right\}\] \[u_{1} = (1,1,1,0),u2 ≔ (1,1,0,1),u3 = (2,2,1,1)\]

3.

On procède par double inclusion

Montrons $Im\ f \subset \ker f$

\[u_{3} = u_{1} + u_{2},\]

Par combinaisons linéaires de combinaisons linéaires, tout vecteur de $Im\ f$ peut s’écrire comme combinaisons linéaires de vecteurs de la base de $\ker f$

Montrons $\ker f \subset Im\ f$

\[u_{2} = u_{3} - u_{1}\]

Par combinaisons linéaires de combinaisons linéaires, tout vecteur de $Ker\ f$ peut s’écrire comme combinaisons linéaires de vecteurs de la base de ${Im}f$

4.

Trouvons une telle base $\left( v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right)$

\[f\left( v_{1} \right) = f\left( v_{2} \right) = 0\]

Donc $v_{1},v_{2} \in \ker f$

Posons $v_{1} = u_{1}$ et $v_{2} = u_{2}$

\[f\left( v_{3} \right) = v_{1} = u_{1} = (1,1,1,0)\] \[f\left( v_{4} \right) = v_{2} = u_{2} = (1,1,0,1)\] \[v_{3} = ( - 1,0,0,0),\ f\left( v_{3} \right) = u_{1}\] \[v_{4} = (0,0, - 1,0),\ f\left( v_{4} \right) = u_{2}\] \[v_{1} = (1,1,1,0)\] \[v_{2} = (1,1,0,1)\] \[v_{3} = ( - 1,0,0,0)\] \[v_{4} = (0,0, - 1,0)\]

5.

Dans la base $\left( v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \right)$, la matrice de l’endomorphisme $f \circ f$ est donnée par

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^{2} = 0\] \[f \circ f = 0\]

6.

On procède par double implication.

$\Longrightarrow$ :

Supposons que $\ker g = Im\ g$

Montrons que $g \circ g = 0$ et $n = 2\ rg(g)$

Soit $u \in E,\ v = g(u),\ w = (g \circ g)(u)$

$v \in Im\ g$ donc $v \in \ker g$ donc $w = 0\forall u \in E$

Donc $g \circ g = 0$

On sait que $\ker g \oplus Im\ g = E$

D’après la formule de Grassmann, $\dim\left( \ker g \right) + rg(g) = n$

Or $\ker g = Im\ g$

$\dim\left( \ker g \right) = rg(g)$

$2\ rg(g) = n$

$\Longleftarrow$ :

Supposons que $g \circ g = 0$ et $n = 2\ rg(g)$

Montrons que $\ker g = Im\ g$

Soit $u \in E,\ v = g(u),\ w = (g \circ g)(u)$

On sait que $\ker g \oplus Im\ g = E$

D’après la formule de Grassmann, $\dim\left( \ker g \right) + rg(g) = n$

Or $n = 2rg(g)$

Donc $\dim\left( \ker g \right) = rg(g) = \dim(Im\ g)$

$Im\ g \subset \ker(g)$

Pourquoi ? $v \in Im\ g,\ or\ g(v) = 0,\ donc\ v \in \ker g$

$Im\ g \subset \ker g$ et $\dim(Im\ g) = \dim\left( \ker g \right)$ donc $\ker g = Im\ g$

CQFD.

Exercice 3 : Partie 1.

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1.

Soit $A$ la matrice de $\varphi$ dans la base canonique.

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & - 4 \\ 2 & 2 & - 1 \\ 2 & 3 & - 2 \end{pmatrix}\]

2.

\[A\sim\begin{pmatrix} 6 & 8 & - 8 \\ 6 & 6 & - 3 \\ 6 & 9 & - 6 \end{pmatrix}\] \[A\sim\begin{pmatrix} 6 & 8 & - 8 \\ 0 & - 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] \[A\sim\begin{pmatrix} 6 & 8 & - 8 \\ 0 & - 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

$rg(A) = 3,\ A$ est inversible, $\varphi$ est bijective.

3.a.

Soit $B$ la matrice de $\varphi - 3Id_{\mathbb{R}^{3}}$

\[B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & - 4 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 2 & 3 & - 5 \end{pmatrix}\] \[B\sim\begin{pmatrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 2 & 3 & - 5 \\ 0 & 4 & - 4 \end{pmatrix}\] \[B\sim\begin{pmatrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 4 & - 4 \\ 0 & 4 & - 4 \end{pmatrix}\] \[B\sim\begin{pmatrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[B\sim\begin{pmatrix} 2 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[B\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[(\varphi - 3Id)(x,y,z) = 0 \Longleftrightarrow (x,y,z) = (z,z,z)\] \[Ker(\varphi - 3Id) = Vect\left\{ (1,1,1) \right\}\]

3.b.

Soit $u \in Ker(\varphi - 3Id)$

\[f(u) = 0 \in Ker(\varphi - 3Id)\]

Donc $Ker(\varphi - 3Id)$ est stable par $\varphi$

4.a.

\[F = \left\{ (x,y,x + y),\ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\}\] \[F = \left\{ x(1,0,1) + y(0,1,1),\ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\}\] \[F = Vect\left\{ (1,0,1),(0,1,1) \right\}\]

$F$ est un sev de $\mathbb{R}^{3}$

Une base de $F$ est $\left{ (1,0,1),(0,1,1) \right}$

Soit $v = (1,0,1),w = (0,1,1)$

4.b.

Soit $u = \lambda v + \mu w \in F$

\[\varphi(u) = \varphi(\lambda v + \mu w) = \lambda\varphi(v) + \mu\varphi(w)\] \[\varphi(v) = \varphi(1,0,1) = ( - 1,1,0) = w - v\] \[\varphi(w) = \varphi(0,1,1) = (0,1,1) = w\] \[\phi(u) = \lambda(w - v) + \mu w = - \lambda v + (\lambda + \mu)w \in F\]

Donc $F$ est stable par $\varphi$

4.c.

\[\dim(F) + \dim\left( Ker(\varphi - 3Id) \right) = 2 + 1 = 3 = \dim\left( \mathbb{R}^{3} \right)\]

Montrons alors que $F + Ker(\varphi - 3Id) = \mathbb{R}^{3}$, il suffit de montrer que $\left( v,w,(1,1,1) \right)$ est une famille génératrice, donc que le rang de la matrice de cette famille est 3.

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{pmatrix}\]

Le rang de la matrice de cette faille est bien 3, alors on a bien $F \oplus Ker(\varphi - 3Id) = \mathbb{R}^{3}$