DS3 2019 2020
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 3K. Fayad, K. Guezguez, J.-M. Masereel, R. NuadiMatière : AlgèbreDate : Lundi 20 janvier 2020Appareils électroniques et documents interditsDurée : 3 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte six exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 3 pointsLinéariser1. cos5x2. sin2xcos3xExercice 2. 7 pointsDans chacun des cas suivants, factoriser le polynôme P dans CX et dans RX :1. P X = X 4 + X 2 + 12. P X = X 2n + 1,n N3. P X = X 4 5X 3 + 7X 2 5X + 6 Vous pouvez vérifier que i est une racine de P Exercice 3. 7 points1. Déterminer le reste de la division euclidienne de A = X 2020 X 3 + X par B = X 2 + 1.2. Soit P = X 2n + X n + 1 CX , n N.a Montrer queX 2 + X + 1 divise P ⇐⇒j n est une racine de X 2 + X + 1b En déduire une condition nécessaire et suffisante sur n pour que P soit divisible par X 2 + X + 1.3. Soient a,b deux réels et le polynôme P = X 4 + X 3 + a X 2 + b X + 2.a Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par X 2 + 2.b Déduire la valeur de a et de b pour que X 2 + 2 divise P .- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 4 points1. Résoudre dans C l’équation :z + in = z in,n N2. Soit P = X + in X in, pour n N.a Vérifier que le degré de P est égal à n 1.b Factoriser P dans CX .Exercice 5. 5 pointsSoit a,b,c ,d quatre nombres complexes avec a ̸= 0. On note z1,z2,z3 les trois racines distinctes ou nondu polynômeP X = a X 3 + b X 2 + c X + d1. En utilisant z1,z2,z3, factoriser P .2. En identifiant les deux expressions de P , calculer en fonction de a,b,c ,d , les expressionsz1 + z2 + z3,z1z2 + z1z3 + z2z3,z1z2z33.a Exprimer en fonction de a,b,c ,d , l’expressionz 21 + z 22 + z 23b Déduire, en fonction de a,b,c ,d , l’expression dez 31 + z 32 + z 33Indication : Vous pouvez commencer par P z1 + Pz2 + Pz3.4.a Montrer que :0 est une racine de P ⇔d = 0.b Dans le cas où zéro n’est pas une racine de P , calculer toujours en fonction de a,b,c ,d l’ex-pression1z1+ 1z2+ 1z3.Exercice 6. 4 points1. Donner la forme de la décomposition en éléments simples dans RX et dans CX de la fractionF X =X 11X 13X 2 + 12X 2 + X + 122. Décomposer dans CX en éléments simples la fraction rationnnelleF X =X 4 + 1X X 12- 2 / 2 -
