DS3 2019 2020
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 6Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel MasereelMatière : AlgèbreDate : Jeudi 18 juin 2020Durée : 3 heuresNombre de pages : 3Toute réponse doit être rigoureusement justifiée et tout calcul détaillé.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème sur 33 est donné à titre indicatif.Exercice 1. 3 pointsSoit a R. On considère la matriceMa =1a10aa000111aa01.1. Calculer le déterminant de Ma.2. Donner le rang de Ma suivant les valeurs de a.Exercice 2. 8.5 pointsSoit B = e1,e2,e3,e4 la base canonique de R4 et f l’endomorphisme de R4 donné parf e1 = e1 e2 e3f e2 = 2e1 + 2e2 + e3 + e4f e3 = f e4 = e1 e2 e41. Donner la matrice A de f dans la base B.2. Déterminer une base de Kerf et une base de Imf .3. Montrer que Kerf = Imf .4. Trouver une base de R4 dans laquelle la matrice de f est0010000100000000.5. Déterminer l’endomorphisme f ◦f .6. Généralisation : Soit g un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n. Montrer que lesdeux propositions suivantes sont équivalentes :a Kerg = Img b g ◦g = 0 et n = 2 rgg - 1 / 3 -
Page 2 : Exercice 3. Parties stablesÉtant donné un espace vectoriel E , une partie A de E et un endomorphisme f de E , on dit que A est stablepar f lorsque f A A.Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.PARTIE I : UN EXEMPLE DANS R3 7.5 pointsSoit l’applicationϕ :R3→R3x, y,z7→3x + 4y 4z,2x + 2y z,2x + 3y 2z1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R3 et donner sa matrice dans la base canonique de R3.2. L’application ϕ est-elle bijective? Justifier.3.a Déterminer une base de Kerϕ 3IdR3.b Montrer que Kerϕ 3IdR3 est stable par ϕ.4. Soit F = x, y,z R3, x + y z = 0.a Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3 et en déterminer une base.b Montrer que F est stable par ϕ.c F et Kerϕ 3IdR3 sont-ils supplémentaires dans R3 ? Justifier.PARTIE II : UN EXEMPLE DANS R2X 8 pointsSoit E = R2X muni de sa base canonique B. Pour tout P E , on poseψP = 2X 1P X 2 12P ′1. Montrer que ψ est un endomorphisme de E .2. Donner la matrice de ψ dans la base B.3. Soit Q le polynôme donné par QX = 2X 2 1.Calculer ψQ et en déduire que vectQ est stable par ψ.4. Soit les polynômes R et S donnés par RX = X et S = ψR.a Montrer que B′ = Q,R,S est une base de E .b Montrer que ψS vectR,S.c En déduire la matrice de ψ dans la base B′.d Montrer que vectR,S est un sous-espace vectoriel de E stable par ψ.5. Donner les matrices de passage de B à B′ et de B′ à B.6. Retrouver alors le résultat de la question 4c.- 2 / 3 -
Page 3 : Exercice 4. 6 points Sous-espaces vectoriels supplémentairesLes deux parties de cet exercice sont indépendantes.PARTIE I : CAS DE DIMENSION FINIESoit E le sous-espace vectoriel de R4 défini par le système d’équations¨x + y + z + t= 0y + 2z + t= 0Soit v1 = 1,1,1,1, v2 = 1,0,1,0 et v3 = 1,1,0,0.Pour chacun des sous-espaces vectoriels suivants, dire s’il est supplémentaire de E dans R4. Justifier.1. vectv1,v2.2. vectv1,v3.PARTIE II : CAS DE DIMENSION INFINIESoit F le R-espace vectoriel des fonctions continues définies sur 0,π à valeurs réelles.On note f1 et f2 les deux éléments de F définis par f1x = sinx et f2x = cosx pour tout x 0,π.SoitG =ng F, g 0 = gπ2= g πoetH = vectf1, f2.1. Soit f F . Donner une condition nécessaire et suffisante sur α1,α2 R2 pour que f α1f1 α2f2appartienne à G .2. En déduire que F = G H .On pourra raisonner par analyse-synthèse.- 3 / 3 -
